Prognozowanie, które nas interesuje:

Przyszłościowe -> racjonalne -> naukowe

Podstawy prognozowania:

- podstawy ontologiczne – obejmuja naturę zjawisk i ich wzajemne powiązania

- podstawu gnoseologiczne – z wiedzy o naturze zjawisk i mechanizmach ich kształtowania

Prognoza – jest to sąd spełniający pewne warunki:

- sformułowany z wykorzystaniem dorobku nauki

- odnoszący się do określonej przyszłości

- weryfikowalny empirycznie

- niepewny, ale akceptowalny (to co jest pewne nie jest prgnozą)

Funkcje prognoz:

- preparacyjna (przygotowawcza, decyzyjna)

- informacyjna

- aktywizująca (dwie pierwsze funkcje da się z góry określić, zawsze występują, f. aktywizująca nie musi występować zawsze)

Rodzaje zmian:

- zmiany ilościowe

- zmiany jakościowe

Postawy prognostyczne

- paswna (duża inercja, niezmienność czynników, otoczenia)

- aktywna (inercja jest mała, zmiany czynników wpływających na prognozowane zjawisko)

Sprawdza się czy można przyjąć postawę pasywną – łatwiejsze prognozowanie, więcej narzędzi.

Rodzaje prognoz.

Ze wzgęldu na charakter prognozowanej zmiennej:

- jakościowe – bez wartości liczbowych (kierunek zmian)

- ilościowe:

- punktowe (najczęściej wykonywane)

- przedziałowe

Ze względu na typ zmian prognozowanej zmiennej:

- krótkookresowe - robione na taki okres, gdzie spodziewamy się wyłącznie zmian ilościowych (postawa pasywna)

- średniookresowe – dominują zmiany ilościowe, pojawiają się śladowe zmiany jakościowe (przeważnie postawa pasywna, ale koryguje się- tzw. prognoza z poprawką)

- długookresowe – istotne zmiany jakościowe (postawa aktywna)

Metoda prognozowania obejmuje:

- sposób przetworzenia danych o przeszłości

- sposób przejścia od danych przetworzonych do prognozy

Dwie fazy przewidywania:

- diagnozowanie przeszłości

- określanie przyszłości

Podstawowe grupy metod prognozowania:

- metody analizy i prognozowania szeregów czasowych (postawa pasywna)

- korzystanie w diagnozowaniu przeszłości zjawiska z danych o dotychczasowym kształtowaniu się zmiennej prognozowanej

- czas lub (i) przeszłe wartości zmiennej prognozowanej reprezentują wszystkie czynniki wpływające na zmienną:

Y1, …, yn  y*n+1, …, y*T

Przeszłość Model

- zasada status quo – takie trochę ceteris paribus

- przydatne do prognoz krótkookresowych

- metody prognozowania przyczynowo-skutkowego (postawa pasywna)

- określenie modelu wyjaścniającego mechanizm zmiennej prognozowanej przez zmiany innych czynników (zmiennych objaśniających)

- ma charakter pośredni, co oznacza, że najpierw wyznacza się przyszłe wartości zmiennych objaśniających, potem zaś sporządza prognozę zmiennej prognozowanej

- korzystamy gdy zmienna w przeszłości nie zachowywała się zawsze tak samo i gdy chcemy jeszcze sprawdzić dlaczego zmienna się tak zachowywała

- metody analogowe (postawa aktywna, ale można też pasywną)

- służą do przewidywania przyszłości określonej zmiennej na podstawie danych o zmiennych podobnych, co do których istnieją zbyt małe podstawy, by przypuszczać, że są przyczynowo powiązane ze zmienną prognozowaną

- odchodzą od ekstrapolacji prawidłowości charakteryzujących przeszłość danej zmiennej na rzacz założenia wspólnych dróg rozwojowych niektórych zmiennych

- nadają się do prognoz średniookresowych i długookresowych

- metody heurystyczne (postawa aktywna, ale można też pasywną)

- polegają na wykorzystaniu opinii ekspertów, opartej na ich intuicji i doświadczeniu

- w procesie prognozowania bierze udział od kilku do kilkudziesięciu ekspertów

- opinie ekspertów są analizowane przez organizatorów badania

- prognozy długookresowe



Etapy prtognozowania:

1. Sformułowanie zadania prognostycznego

2. Podanie przesłanek prognostycznych

3. Wybór metody prognozowania

4. Wyznaczenie prognozy

5. Ocena dopuszczalności prognozy

6. Weryfikacja prognozy (dopiero gdy poznamy rzeczywistość, porównujemy)

Ad. 1. Określenie:

- obiektu (w sensie geograficznym np. Polska lub coś funkcjonujące na rynku np. firma Toyota, może też być połączenie np. polski rynek Toyoty)

- zjawiska, zmiennej (zmiennych) – zjawisko występuje i jest niemierzalne, do opisu ilościowego zjawiska dobiera się zmienną np. popyt wyrażony jako sprzedaż (należy podać miarę np. PLN), zjawisko złożone to np. poziom życia (trudno dobrać dobrą zmienną)

- okresu (horyzontu) prognozy,

- celu wyznaczania prognozy (nie mylić z przedmiotem prognozy),

- wymagań co do jakości prognozy (maksymalny dopuszczalny błąd, minimalne wymagane prawdopodobieństwo) – ściśle powiązane z funkcją, celem prognozy (duże wymagania co do funkcji preparastycznej, mniejsze wymagania w przypadku f. informacyjnej), najczęsciej przyjmuje się maksymalny dopuszczlny błąd nie większy niż 10%, dla funkcji preparastycznych ok. 5-6%, nie zakłada się, że prognoza musi mieć błąd poniżej 2%.

Przykład: Należy wyznaczyć prognozę sprzedaży zabawek (w tys. złotych) sieci sklepów „Miś” działających na terenie Dolnego Śląska w poszczególnych kwartałach 2009r. Prognoza będzie wykorzystana do zaplanowania terminów i wielkości zamówień. Prognoza może być obarczona błędem nie większym niż 7%.

Ad. 2.

- sformułowanie hipotez o czynnikach kształtujących zjawisko – jakie czynniki i jak wg nas mogą one wpływać na dane zjawisko,

- deklaracja postawy wobec przyszłości zjawiska – na zakończenie formułowania hipotez (pasywna lub aktywna)

- określenie zbioru danych potrzebnych do sporządzenia prognozy,

- zebranie danych

Przykładowe postępowanie:

Na początku sięgamy do przeszłości, badamy to i dopiero wtedy możemy stawiać hipotezy.

- zebranie danych z przeszłości dotyczących prognozowanej zmiennej

- analiza wzrokowa wykresu

- opis czynników powodujących zaobserwowany przebieg zmiennej, opis wpływu

- przyszłość:

- utrzymanie się dotychczasowych czynników?

- spodziewane zmiany w czynnikach i otoczeniu?

- konsekwencje dla utrzymania się dotychczasowego przeiegu?

- deklaracja postawy prognostycznej

Ad. 3.

Przykładowe kryteria wyboru metody:

- przyjęta postawa prognostyczna

- potrzebna wnikliwa znajomość mechanizmu zmian prognozowanego zjawiska

- dostępność danych

- modele szeregów czasowych – składowa systematyczna zmiennej prognozowanej

Ad. 5. i 6.

Ocena jakości prognoz:

- ocena ex ante – dopuszczalność prognoz

- ocena ex post – trafność prognoz (weryfikacja prognoz)

Błędy prognoz (do pomiarów ilościowych):

- błędy o charakterze bezwzględnym – przydatne dla odbiorcy prognozy, łatwiejszy odbiór

- błędy o charakterze względnym (procentowe) – więcej mówią prognozującemu.

Dopuszczalność prognozy.

Prognozą dopuszczalną jest sąd spełniający co najmniej jeden z poniższych warunków:

- którego błąd ex ante jest co najwyżej równy z góry zadanemu:

vt ≤ vt* t>n

ɳt ≤ ɳt* t>n

gdzie: vt*, ɳt* - wartości błędów z góry zadane

- którego prawdopodobieństwo spełnienia się jest co najmniej równe z góry zadanemu:

ɤt ≥ ɤt* t>n

gdzie: ɤt* - prawdopodobieństwi z góry zadane

Prognozą dopuszczalną jest sąd spełniający co najmniej jeden z poniższych warunków:

- dla którego błędy ex post prognoz wygasłych nie przekraczały wartości z góry zadanych,

- który został oceniony jako godny zaufania przez niezależnych ekspertów,

- który został oceniony jako godny zaufania przez twórcę prognozy.

Traność prognozy:

Bezwzględny błąd prognozy ex post w czasie t:

q_t = y_t –〖y_t〗^* t>n

Względny błąd prognozy ex post w czasie t :



Ѱ_t=(y_t-〖y_t〗^*)/y_t ∙100 t>n

Gdzie: yt – wartość rzeczywista zmiennej, yt* - prognoza

Średni względny błąd prognoz ex post w przedziale wryfikacji (n+1, …, T):

Ѱ=1/(T-n)∙∑_(t=n+1)^T▒|y_t-〖y_t〗^* |/y_t ∙100

Pierwiastek średniego kwadratowego błędu prognoz ex post w przedziale weryfikacji

s^*=[1/(T-n)∙∑_(t=n+1)^T▒(y_t-〖y_t〗^* )^2 ]^(1/2)

Szereg czasowy:

Wartości zmiennej zaobserwowane w kolejnych momentach (okresach).

Zmienna t = 1, …, n - numery kolejnych obserwacji.

y=[y_1,…,y_n ]

Składowe szeregu czasowego:

- składowa systematyczna (wykresiki)

- stały (średni) poziom – w dłuższym okresie prawie stały poziom (oscylacja)

- tendencja rozwojowa

- wahania okresowe

- sezonowe – pory roku, kalendarz (zamykają się w jednym roku) – ostre wahania

- cykliczne – cykle koniunkturalne (powyżej roku) – stosunkowo łagodny przebieg

- składowa przypadkowa – przyczyny przypadkowe, losowe

Identyfikacja składowych szeregu czasowego:

- analiza wzrokowa wykresu,

- przesłanki merytoryczne,

- testy statystyczne,

- analiza funkcji autokorelacji,

- analiza wariancji.

Wybrane testy statystyczne.

Parametryczny test współczynnika korelacji Pearsona

- obliczenie współczynnika korelacji r pomiędzy zmienną prognozowaną i zmienną t

- obliczenie statystyki empirycznej

t_emp=(r√(n-2))/√(1-r^2 )

- odczytanie wartości krytycznej t* z tablic t-Studenta dla określonego poziomu istotności α oraz (n-2) stopni swobody

- porównanie statystyki empirycznej z wartością krytyczną

Wnioski:

W szetregu czasowym statystycznie występuje trend (liniowy) |t_emp |>t^*

r dodatnie – trend rosnący

r ujemne – trend malejący

Funkcja autokorelacji.

Analiza współczynników korelacji pomiędzy zmienną prognozowaną a nią samą opóźnioną w czasie:

r(y_t,y_(t-1) ), i=1,2,…,4,…,12 itd.

Wnioski:

- wysokie wartości (statystycznie istotne) dla i = 1, 2 – występuje trend

- wysokie wartości (statystycznie istotne) dla i = 4 (przy danych kwartalnych) lub 12 (przy danych miesięcznych) – występują wahania sezonowe

Metody prognozowania na podstawie szeregów okresowych.

Tendencja rozwojowa (trend) to długotrwała skłonność do jednokierunkowych zmian (wzrost lub spadek). W przypadku takich szeregów można wykorzystać np. modele analityczne lub adaptacyjne.

Modele dla tendencji rozwojowej.

Założenia:

- postawa pasywna

- składowe systematyczne w postaci trendu

Modele, założenia dodatkowe:

- modele analityczne – regularność zmian zmiennej prognozowanej w przeszłości

- modele adaptacyjne – brak dodatkowych założeń (prostsze, bardziej automatyczne, lepsze dla komputerów)

Regularność zmian – do takich zmian nadają się modele analityczne.

- zmiany stałe (równe spadki/przyrosty)

- zmiany przyspieszone ( coraz szybsze wzrosty/spadki)

- zmiany spowolnione (coraz wolniejsze wzrosty/spadki)

Nieregularność zmian – zmiany nie zachcharakteryzują się żadną regularnością. Stosujemy metody adaptacyjne.

Analityczne modele tendencji rozwojowej

Metoda analityczna polega na znalezieniu analitycznej postaci funkcji f(t) najlepiej, w świetle zastosowanych kryteroceny, pasującej do wyrazów szeregu czasowego zmiennej prognozowanej.

Dane z przeszłości – użyte do budowy modelu:

t= 1, 2, 3, …, n

y1, y2, …, yn

Liczba niezbędnych danych n= (w teorii nie mniej niż 10, w praktyce wystarczy 8)

Zakłada się:

- niezmienność kierunki trendu (rosnący/malejący)

- stałość charakteru zmian zjawiska wyrażoną przez niezmienność postaci analitycznej funkcji trendu (liniowa, potęgowa, logarytmiczna itd.) i oszacowanych parametrów strukturalnych mofdelu.

Podstawy wyboru modelu (postać analityczna)

- analiza wzrokowa wykresu,

- przesłanki merytoryczne dotyczące mechanizmu rozwojowego prognozowanego zjawiska,

- miary dopasowania modelu do danych empirycznych

- współczynnik determinacji, współczynnik zbieżności, standardowy błąd oceny modelu ( odchylenie standardowe reszt modelu).

Postaci modeli analitycznych

- liniowe - gdy przyrosty absolutne prawie stałe

- nieliniowe - gdy wartości rosną (maleją) coraz szybciej (wolniej)

- malejące tempo zmian (logarytmiczna, potęgowa, wykładnicza)

- przyspieszone tempo zmian (potęgowa lub wykładnicza)

- wykładnicza – przyrosty względne prawie stałe,

- logarytmiczna – wartości rosną coraz wolniej,

- liniowo-odwrtotnościowa – wartości maleją coraz wolniej,

- potęgowa,

- wielomian 2. stopnia (funkcja kwadratowa).

Najczęściej stosowanymi postaciami modeli analitycznych są:

- model z liniową funkcją trendu

y ̂_t=a+bt

- model z logarytmiczną funkcją trendu

y ̂_t=a+b ln⁡t

- model z potęgową funkcją trendu,

y ̂_t=a+t^b

- model z wykładniczą funkcją trendu.

y ̂_t=a+b^t

y ̂_t=ae^bt

y ̂_t=e^(a+bt)

Funkcja liniowa.

Excel: funkcja reglinp

Do oceny dopasowania modelu do wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej służy:

- współczynnik determincacji

- standardowy błąd oceny modelu

Prognoza punktowa

y_T^*=f(t)

dla T>n

y_T^*=a+bt

Bezwzględny i względny błąd ex ante dla modelu trendu liniowego.

V_T=[〖(T-t ̅)〗^2/(∑_(t=1)^n▒〖(t-t ̅)〗^2 )+1/n+1]^0,5∙s

Gdzie:

T – numer okresu, dla którego wyznacza się prognozę

t ̅ - średnia wartość zmiennej czasowej w szeregu o n obserwacjach

s – standardowy błąd oceny modelu

Względny błąd ex ante:

ɳ_T=V_T/(y_T^* )∙100

Błędy ex ante informują o przewidywanych wielkościach odchyleń przyszłych wartości rzeczywistych od prognozowanych.

Błędy bezwzględne określają wielkość w rzeczywistych jednostkach miary, w jakich wyrażona jest zmienna prognozowana, błędy względne procentowo.

Błędy te prezentują wartości dodatnie, nie informują o kierunku przewidywanego odchylenia (+ lub -).

Prognoza przedziałowa

P{y_T^*-uv_T≤y_T≤y_T^*+uv_T }=p

Gdzie:

y_T^* - prognoza punktowa zmiennej y na okres T

u – współczynnik związany z wiarygodnością prgnozy, rozkładem reszt modelu oraz długością szeregu czasowego,

v_T – bezwzględny błąd ex ante prognozy

p – wiarygodnosć prognozy

Znajdowanie parametru u:

- reszty modelu mają rozkład normalny – u odczytujemy z odpowiedniej tablicy rozkładu

n>30 – normalny

n≤30 – t Studenta

- reszty modelu nie mają rozkładu normalnego (jest nieznany) – u wyznaczamy z nierówności Czebyszewa

u=√(1/(1-p)) gdzie: p – wiarygodność prognozy

Łatwiej skorzystać zawsze z nierówności Czebyszewa, ale jest to dużo mniej precyzyjna metoda (u jest ok. 2 razy większe).

Reglinp funkcja ta wymaga uzupełnienia następujących pól:

- znane_y – wartości lub adresy komórek zawierających wartości zmiennej prognozowanej,

- znane_x – wartości lub adresy komórek zawierających wartości zmiennej czasowej t,

- stała – model z wyrazem wolnym czy bez wyrazu wolnego,

- statystyka – czy obliczamy charakterystykę modelu.

Nieliniowe analityczne modele tendencji rozwojowej – ocena dopuszczalnosci prognoz.

Różnica głównie na etapie dopuszczalności prognoz.

Do oszacowania błędów ex ante prognoz zbudowanych na podstawie modelu nieliniowego, sprowadzalnego do liniowego wykorzystuje się zależność:

v_T=√(〖〖v'〗_T〗^2/(dy'/dy)^2 )

Gdzie:

v_T – bezwzględny błąd ex ante dla modelu nieliniowego

〖v'〗_T – bezwzględny błąd ex ante dla transformaty liniowej

dy'/dy – pochodna liczona w punkcie 〖y_T〗^*

Szeregi czasowe – cd.

Adaptacyjne modele tendencji rozwojowej

Zastosowanie:

- nieregularne zmiany w czasie zmiennej prognozowanej

- nieaktualny dla ostatnich znanych obserwacji zmiennej prognozowanej model analityczny (zauważamu, że zmiany zachodzą inaczej niż poprzednio)

Zalety:

- duża elastyczność

- możliwość odrzucenia krępującego założenia o niezmienności mechanizmu rozwojowego prognozowanego zjawiska

Przykładowe modele:

- modele wygładzania wykładniczego

- liniowy model Holta (ten jest najważniejszy dla nas)

- model z trendem hiperbolicznym

- model z trendem wykładniczym

- model trendu pełzającego (wykres jak ruch dżdżownicy)

Model wygładzania wykładniczego Holta

Równania modeu:

- równanie I – służy do oceny wygładzonych wartości szeregu czasowego w momencie/okresie t-1

F_(t-1)=α∙y_(t-1)+(1-α)∙(F_(t-2)+S_(t-2))

- równanie II – służy do oceny wygładzonych wartości przyrostu trendu na moment/okres t-1

S_(t-1)=β∙(F_(t-1)-F_(t-2))+(1-β)∙S_(t-2)

Sposoby ustalania wartości początkowych komponentów F i S

Lp. F1 S1

1. y1 0

2. y1 y2-y1

3. Wyraz wolny liniowej funkcji trendu oszacowanej na podstawie próbki wstępnej (np. kilku pierwszych obserwacji) Współczynnik kierunkowy liniowej funkcji trendu oszacowanej na podstawie próbki wstępnej

α, β – parametry wygładzania

0≤α≤1

0≤β≤1

Są to parametry niezależne.

Wybór konkretnych wartości parametrów α, β - kryterium minimalizacji średniego błędu ex post prognoz wygasłych.

Ѱ=1/(n-2)∙∑_(t=3)^n▒|y_t-〖y_t〗^* |/y_t ∙100

s^*=[1/(n-2)∙∑_(t=3)^n▒〖(y_t-〖y_t〗^*)〗^2 ]^0,5

Excel – dodatek solver

Komórka celu: Ѱ→min⁡〖lub s^*→min〗

Komórki zmienne: α, β

Warunki ograniczające: α,β ≥0,α,β ≤1

Prognoza wygasła zmiennej Y na moment/okres t(t≤n):

〖y_t〗^*=F_(t-1)+S_(t-1)

Prognoza zmiennej Y na moment/okres T (T>n):

〖y_T〗^*=F_n+(T-n)S_n

Prognozy tej nie wyznaczamy na zbyt wiele okresów do przodu.

Ocena dopuszczalności prognozy na podstawie wartości

Średniego błędu ex post prognoz wygasłych

Ѱ-oczekiwany błąd względny dla prognozy

Lub

s^*= oczekiwany błąd bezwzględny dla prognozy

Przejście na błąd względny s^*/〖y_T〗^* w procentach.

Wahania sezonowe – wprowadzenie.

Szereg zawiera 3 składowe:

- stały poziom albo tendencję rozwojową,

- wahania sezonowe,

- składową przypadkową (wahania przypadkowe).

Wahania sezonowe to jeden z rodzajów składowej okresowej. Innym rodzajem składowej okresowej są wahania cykliczne.

Składowa okresowa występuje gdy zmienna podlega rytmicznym zmianom, przechodzi kolejne fazy wahań, powtarzające się w przybliżeniu co stały odstęp czasu.

Cykl wahań wynosi najwyżej 1 rok.

Przedział czasu, w którym występują wszystkie fazy wahań nazywa się okresem lub cyklem wahań.

Przykłady cykli Dane

Dobowy Godzinowe

Tygodniowy Dzienne

Miesięczne Dzienne

Roczny Miesięczne lub kwartalne

Uwaga: wskazane co najmniej 4-krotne powtórzenie obserwacji dla każdej fazy (w praktyce dopuszcza się 3-krotne).

Przesłanki:

- wyjaśnienie powstawania prawidłowości w postaci tendencji rozwojowej (lub stałego poziomu),

- wyjaśnienie przyczyn wahań sezonowych, czyli rytmicznych zmian.

Przyczyny zmian rytmicznych – sezon, kalendarz, związane z nimi zwyczaje.

Postawa prognosty: pasywna.

Oznaczenie zmiennej: yti

Gdzie:

i – numer fazy wahań i=1, …, r

r – liczba faz w cyklu

Amplituda wahań:

- bezwzględna – różnica między rzeczywistymi wartościami zmiennej prognozowanej a wartościami składowej stałej lub tendencji rozwojowej

y_ti-y ̅ y_ti-f(t)

- względna – iloraz rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej i wartości składowej stałej lub tendencji rozwojowej

y_ti/y ̅ y_ti/(f(t))

Model addytywny:

- składowe niezależne

- wahania bezwzględnie stałe

- model: y_ti=f(t)+c_i

Model multiplikatywny:

- składowe zależne

- wahania względnie stałe

- model: y_ti=f(t)∙c_i

Statystyka mówi, że 15% przypadków jest lepiej opisanych przez model addytywny, 85% przez model multiplikatywny.

Modele addytywne są stosowane gdy występują wahania sezonowe bezwzględnie stałe, tzn.

- gdy stała jest w przybliżeniu wartość bezwzględnej amplitudy dla danej fazy i:

y_ti-y ̂_t≈const

Modele multiplikatywne są stosowane gdy występują wahania sezonowe względnie stałe, tzn.

- gdy stała jest w przybliżeniu wartość względnej amplitudy dla danej fazy i:

y_ti/y ̂_t ≈const

Wybrane metody prognostyczne:

- metoda wskaźnikówe

- model wygładzania wykładniczego Wintersa

- analiza harmoniczna

- metoda trendów jednoimiennych

- inne modele

- metoda Kleina

- modele autoregresyjne

Metoda wskaźników.

Etap 1.

Opisanie składowej stałej lub tendencji rozwojowej występującej w szeregu czasowym, np.:

składowa stała

(y_t ) ̂=y ̅

trend: f(t)

(y_t ) ̂=a+b∙t

Obliczenie wartości teoretycznych wynikających ze stałego poziomu lub oszacowanie funkcji trendu:

składowa stała

(y_1 ) ̂=y ̅

(y_2 ) ̂=y ̅

i tak aż do n.

trend: f(t)

(y_1 ) ̂=a+b∙1

(y_2 ) ̂=a+b∙2

i tak aż do n.

Etap 2. Eliminacj stałego poziomu lub tendencji rozwojowej z szeregu czasowego.

Model addytywny

z_ti=y_ti-y ̂_t

Model multiplikatywny

z_ti=y_ti/y ̂_t

W szeregu czasowym pozostały wahania sezonowe oraz wahania przypadkowe.

Etap 3. Eliminacja wahań przypadkowych – wyznaczenie surowych wskaźników sezonowości dla każdej fazy oddzielnie.

z_i=1/K ∑_(k=1)^K▒z_ti

Gdzie:

k – numer cyklu wahań

K – liczba cykli wahań

r – liczba faz w cyklu

r∙K=n

Sprawdzenie, czy dla surowych wskaźników sezonowości spełnione jest:

Model addytywny

∑_(i=1)^r▒z_ti =0

Model multiplikatywny

∑_(i=1)^r▒z_ti =r

TAK – wskaźniki surowe automatycznie stają się wskaźnikami czystymi (ci)

NIE – przejście do kolejnego etapu

Przyczyna braku równości: wprowadzenie zaokrągleń w dotychczasowym procesie obliczeniowym.

Etap 4. Wyznaczenie czystych wskaźników sezonowości

- obliczenie wskaźnika korygującego

q=1/r ∑_(i=1)^r▒z_i

- obliczenie czystych wskaźników sezonowości

Model addytywny

c_i=z_i-q

Model multiplikatywny

c_i=z_i/q

Własności czystych wskaźników sezonowości

Model addytywny – wskaźniki sumują się do zera. Wskaźniki posiadają jednostki miary. Interpretacja bezpośrednia. Wskaźniki mogą być ujemne i dodatnie.

Model multiplikatywny – wskaźniki sumują się do r. Brak jednostek miary. Interpretujemy procentowo. Wskaźniki tylko dodatnie.

Interpretacja wartości czystych wskaźników sezonowości.

Model addytywny – w i fazie cyklu wartość zmiennej prognozowanej różniła się o ci w stosunku do wartości wynikającej z funkcji trendu. Pojawia się wskaźnik o takiej samej wartości, ale o przeciwnym znaku.

Model multiplikatywny – w i fazie cyklu wartość zmiennej prognozowanej różniła się o ci – 1 (procent) w stosunku do wartości wynikającej z funkcji trendu. Pojawia się wskaźnik przeciwny o wartości 1-(ci-1).

Ocena modelu – dopasowanie do danych empirycznych.

Wskaźnik względnego poziomu reszt

We=1/n ∑_(t=1)^n▒|y_ti-y ̂_ti |/y_ti ∙100%

y_ti-wartości rzeczywiste zmiennej

y ̂_ti-wartości teoretyczne wynikające z całego modelu

Model addytywny: y ̂_ti=y ̂_t+c_i

Model multiplikatywny: y ̂_ti=y ̂_t∙c_i

We <10% wskazuje na dobre dopasowanie zbudowanego modelu prognostycznego do danych empirycznych.

Wyznaczanie prognozy na okres t(t>n), fazę i

Model addytywny: 〖y_ti〗^*=〖y_ti〗^(*(w))+c_i

Moel multiplikatywny: 〖y_ti〗^*=〖y_ti〗^(*(w))∙c_i

Gdzie:

〖y_ti〗^(*(w)) – prognoza wstępna wyznaczona z funkcji trendu

Ocena dopuszczalności prognoz – możliwe sposoby:

Błędy ex post prognoz wygasłych

Wada – utrata ostatnich obserwacji, najaktualniesza z punktu widzenia szacowania parametrów modelu

Opinia eksperta

Wada – długi czas pozyskiwania, wysokie koszty

Ocena słowna prognosty

Poparta miarami obiektywnymi, np. wskaźnikiem względnego poziomu reszt



Egzamin 23 stycznia!!! Godzina 13.00 sala 1P

Prognozowanie na podstawie modeli przyczynowo-skutkowych.

Model ekonometryczny ze zmiennymi ilościowymi.

Ogólna postać modelu:

Y=f(X_1,X_2,…,X_m )

y ̂_t=a_0+a_1∙x_1t+a_n∙x_2t+⋯+a_m∙x_mt

Gdzie:

Y- zmienna objaśniana (prognozowana)

Xm – zmienne objaśniające

f – funkcja odwzorowująca oddziaływanie zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą

am – oceny parametrów strukturalnych

Budowa modelu ekonometrycznego przebiega zwykle w następujących etapach:

- dobór zmiennych objaśniających do modelu,

- szacowanie parametrów modelu,

- weryfikacja modelu.

Ad. 1.

Kryterium merytoryczne – identyfikacja zmiennych, które teoretycznie mogą oddziaływać na zmieną objaśnianą (prognozowaną).

Kryterium statystyczne

Zmienne objaśniające powinny charakteryzować się wystarczającym zróżnicowaniem

Pomiar poziomu zróżnicowania zmiennych – współczynnik zmienności Vx:

V_x=s_x/x ̅ ∙100

Gdzie:

Sx – odchylenie standardowe X

X – średnia wartość X

Eliminacja zmiennych quasi stałych (zmienność poniżej 10%) Vx<V*

Zmienne objaśniające modelu powinny być:

- silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą

- słabo skorelowane między sobą

Analiza współczynników korelacji zmiennej Y i zmiennych Xi:

- wartość współczynnika korelacji przynajmniej 0,8

- znak współczynnika korelacji zgodny z przesłankami merytorycznymi

+ zależność dodatnia: wzrost Xi, wzrost Y

- zależność ujemna: wzrost Xi, spadek Y

Analiza współczynników korelacji zmiennych poniżej 0,8.

Ad. 2.

Parametry liniowego modelu ekonometrycznego szacuje się Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów:

a=(X^T X)^(-1) X^T y

Gdzie:

X – macierz obserwacji zmiennych objaśniających (wymiar n x m)

Y – wektor obserwacji zmiennej objaśnianej (wymiar n x 1)

Excel: regresja.

Ad. 3.

Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych

Dopasowanie:

Współczynnik determinacji: R2

Standardowy błąd oceny modelu: s

Ocena istotności parametrów modelu – wnioskowanie o istotności wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą

Istotność parametrów:

Test Fishera – cały wektor zmiennych objaśniających

- statystyka empiryczna

F_emp=R^2/(1-R^2 )∙(n-m-1)/m

- wartość krytyczna Fa: tablice rozkładu F-Snedecora

Liczba stopni swobody: m1=m, m2=n-m-1, poziom istotności: a

Femp > Fα

Test t-Studenta – pojedyncze zmienne objaśniające

- statystyka empiryczna

t_i=a_i/√(D^2 (a_i))

- wartość krytyczna ta: tablice rozkładu t-Studenta

Liczba stopni n-m-1, poziom istotności: a

Gdzie:

a_i – ocena parametru stojącego przy i-tej zmiennej

D^2 (a_i) – wariancja oceny parametru stojącego przy i-tej zmiennej

|t_i |>t_α

|t_i |≤t_α – eliminacja zmiennej z modelu

Wartości D^2 (a_i ) odczytuje się z głównejprzekątnej macierzy wariancji i kowariancji ocen parametrów modelu.

Macierz tą szacuje si e w następujący sposób:

D^2 (a)=s^2 (X^T X)^(-1)

Elementy tej macierzy są następujące:

D^2 (a)=[■(■(D^2 (a_0 )&cov(a_0,a_1)@cov(a_1,a_m)&D^2 (a_1 ) )&■(…&cov(a_0,a_m1)@…&cov(a_1,a_m))@■(…&…@cov(a_m,a_0)&cov(a_m,a_1))&■(…&…@…& D^2 (a_m ) ))]

Gdzie:

D^2 (a_i ) – wariancja oceny parametru ai

cov(a_i,a_j) – kowariancja ocen parametrów ai i aj

Założenia prognozy ekonometrycznej:

- Znany jest dobry model ekonometryczny – pozytywnie przeszedł etap weryfikacji.

- Występuje stabilność reakcji strukturalnych w czasie. Oznacza to, że postać modelu i wzajemne oddziaływanie zmiennych są stałe, aż do okresu prognozowanego włącznie (zasada status quo).

- Składnik losowy ma stały rozkład w czasie. Oznacza to, że nie pojawią się w okresie prognozy nowe ważne zmienne oddziaływujące na zjawisko prognozowane (zasada status quo).

- Znane są wartośći zmiennych objaśniających Xi w okresie prognozowanym.

Źródła wartości prognostycznych zmiennych objaśniających:

- gotowe prognozy: zmienne makroekonomiczne, zmienne demograficzne,

- zmienne decyzyjne (cena, wydatki na reklamę, oprocentowanie kredytów) – wartości wynikające z planów

- modele dynamiczne (reakcje opóźnione w czasie) – wartości rzeczywiste

np. y_t=a_0+a_1 x_(1,t-3)

- samodzielnie wykonane prognozy ( np. na podstawie modeli szeregów czaowych)

- opinia ekspertów

- Można ekstrapolować model poza jego dziedzinę.

Dziedzina modelu: wartośći prognostyczne zmiennych objaśniających zaobserwowane w próbie.

Czy model może być użyty do prognozowania nawet w przypadku, gdy wartości prognostyczne zmiennych objaśniających będą wykraczały poza obszar zmienności zaobserwowany w próbie?

Założenia prognozy ekonometrycznej pozwalają na:

- przyjęcie postawy pasywnej prognosty,

- konstrukcję prognoz krótkookresowych.

Wyznaczanie prognozy na okres T (T>n) na podstawie modelu liniowego:

〖y^*〗_T=∑_(i=0)^m▒〖a_i∙〖x^*〗_iT 〗

Prognozowanie ekonometryczne a prognozowanie na podstawie modeli szeregów czasowych.

Wyznaczanie prognozy na okres T (T>n):

na podstawie modelu ekonometrycznego – sposób pośredni, na podstawie zaobserwowanych zależności pomiędzy zmiennymi

na podstawie modeli analitycznych – sposób bezpośredni, na podstawie przebiegu zmiennej w czasie

〖y^*〗_T=f(T)

Ocena dopuszczalności prognozy punktowej

- stosowanie błedu ex ante

Względny błąd prognozy ex ante

ɳ_T=V_T/(y_T^* )∙100

Bezwzględny błąd prognozy ex ante

V_T=√(V_T^2 )

V_T^2 - wariancja prognozy

V_T^2=∑_(i=0)^m▒〖D^2 (a_i ) 〗∙〖x_iT^*〗^2+2∙∑_(i=0)^(m-1)▒∑_(j>i)▒〖cov(a_i,a_j )∙x_iT^*∙x_jT^* 〗+s^2

Przykład:

(y_t ) ̂=a_0+a_1 x_1t+a_2 x_2t

D^2 (a)=[■(D^2 (a_0 )&cov(a_0,a_1)&cov(a_0,a_2)@&D^2 (a_1 )&cov(a_1,a_2)@&&D^2 (a_2 ) )]

x_0T^*=1∙x_1T^*∙x_2T^*

Rozpisanie wzoru na bombe atomową:

V_T^2=D^2 (a_0 )∙〖x_0T^*〗^2+D^2 (a_1 )∙〖x_1T^*〗^2+D^2 (a_2 )∙〖x_2T^*〗^2+2∙(cov(a_0,a_1 )∙x_0T^*∙x_1T^*+cov(a_0,a_2 )∙x_0T^*∙x_2T^*+cov(a_1,a_2 )∙x_1T^*∙x_2T^*)+s^2

Prognoza przedziałowa dla zadanej wiarygodności p (dla modeli postaci liniowej):

P{y_T^*-u∙v_T≤y_T≤y_T^*+u∙v_T }=p

Dla p: [y_T^*-u∙v_T; y_T^*+u∙v_T ]

u – współczynnik, którego wartość zależy od rozkładu reszt modelu, wiarygodności prognozy p i liczby obserwacji n

Reszty modelu mają rozkład normalny – współczynnik u odczytujemy z tablic t-Studenta (dla n nie większego niż 30) lub z tablic rozkładu normalnego (n>30).

u=t(α=1-p;n-,-1)

α - poziom istotności, n-m-1 – liczba stopni swobody

Reszty modelu nieznane – nierówność Czebyszewa

Prognozowanie heurystyczne.

Przewidywanie nowych obrazów rzeczywistości niekoniecznie dających się opisać za pomocą analizy przeszłości.

W sformułowaniu prognozy wykorzystuje się opinie ekspertów.

Ekspert – osoba, która została zaproszona do udziału w badaniu ze względu na swoją osobowość, wiedzę, doświadczenie i szerokie horyzonty myślenia.

Metody heurystyczne opierają się na założeniu, że trafność sądów grupowych jest wyższa niż indywidualnych ekspertów.

Rozważnie dobrani eksperci mogą wymieniać się swoją wiedzą (uzupełniać), co prowadzi do zrównoważonych i kompleksowych poglądów.

W procesie prognostycznym bierze udział od kilku do kilkudziesięciu ekspertów.

Kryteria wyboru ekspertów:

- grupa ekspertów – uniwersalna (osoby wszechstronne, zainteresowane przeszłością plus specjaliści nauki i praktyki),

- grupa ekspertów – liczna (reprezentowanie różnych poglądów),

- wybrane osoby powinny niezależnie myśleć oraz mieć niezależne poglądy.

Ewolucja metod prognozowania:

- Metody klasyczne – konformizm i automatyzm; recepty potwierdzone doświadczeniem.

- Metody zracjonalizowane – krytyka i logika; procedury kontroli, weryfikacji i badań

- Metody heurystyczne – elastyczność i fantazja; środki inwencji i procesy odkrywcze.

Zastosowania metod heurystycznych:

- wskazywanie daty zajścia interesującego nas zdarzenia,

- określenie poziomu badanego zjawiska,

- określenie punktów zwrotnych,

- określenie prawdopodobieństwa zajścia danego zdarzenia,

- określanie netężenia występowania zjawisk nowych,

- tworzenie ocen faktów determinujących przyszłość,

- ocena przydatnośći utworzonych modeli do prognozowania.

Najpopularniejsze metody heurystyczne:

podręcznikowo:

- metoda burzy mózgów,

- metoda delficka,

z punktu praktycznego (z czym ludzie mają do czynienia):

- testy rynkowe,

- metody ankietowe.

Burza mózgów – odmiana „konferencji problemowej”

Fazy – niezależne (zwielokrotnienie efektu poszukiwań pomysłów twórczych):

Tworzenie pomysłów

Oceniania pomysłów

Podstawowe wymagania metodologiczne (faza pierwsza):

- nie krytykować,

- stymulować jak najwięcej pomysłów.

Dodatkowe wymagania:

- zgłaszać wszystkie pomysły,

- łączyć i doskonalić pomysły,

- zgłaszać nasuwające się sugestie bez śledzenia cudzych pomysłów,

- prezentować pomysły jasno i zwięźle,

- wykorzystywać i rozwijać pomysły innych uczestników.

Nie ma autorstwa pomysłów. Pomysły są własnością grupy.

Fazy w badaniu metodą burzy mózgów:

Przygotowanie

Sprecyzowanie problemu, zebranie informacji o badanym problemie, dobór grupy ekspertów

Tworzenie

Przedstawienie problemu i przypomnienie zasad „burzy mózgów”

Zgłaszanie i notowanie pomysłów

Zakończenie – nadanie numerów pomysłom

Ocenianie

Ustalenie kryteriów oceny

Analiza i ocena pomysłów

Przedstwienie ostatecznego sposobu rozwiązywania problemów

Zalety burzy mózgów:

- krótki czas,

- niewielkie koszty.

Wady burzy mózgów:

- brak niezawisłości opinii (np. zależności funkcyjne, różne indywidualne predyspozycje osób).

Metoda delficka – badanie opinii ekspertów dotyczących prawdopodobieństwa lub czasu zającia przyszłych zjawisk.

Prognozą jest zgodny sąd osób kompetentnych na określony temat.

Cechy charakterystyczne:

- niezależność opinii ekspertów,

- anonimowość wypowiadanych sądów,

- wieloetapowość postępowania,

- uzgadnianie i sumowanie opinii kompetentnych,

- wysokie koszty.

Etapy metody delfickiej:

- zdefiniowanie problemu

- wybór grupy ekspertów

- przygotowanie i rozesłanie ankiety

- analiza odpowiedzi z ankiety

- Sprawdzenie czy osiągnięto zgodę?

- jeśli zgoda osiągnięta to przedstawienie wyników

- jeśli brak zgody to przygotowanie i rozesłanie kolejnej ankiety (i ponownie analiza odpowiedzi z ankiety).

Skale pomiarowe:

- nominalna – relacja: równw lub różne

- porządkowa – relacja: większe lub mniejsze, jednoznacznie uporządkowanie

- przedziałowa – relacja: większe o tyle; pomiar występuje wtedy, gdy zbiór wartości cechy należy do zbioru liczb rzeczywistych

- ilorazowa – relacja: tyle razy większe; pomiar występuje wtedy, gdy zbiór wartości cechy należy do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich



Przykłady:

- nominalna – pytania zamknięte

- porządkowa – moment zajścia zjawiska

- przedziałowa – wynik finansowy

- ilorazowa – wielkość sprzedaży

Skale pomiarowe – prognoza: miary przeciętne

- nominalna – dominanta

- porządkowa – mediana

- przedziałowa – średnia arytmetyczna

- ilorazowa – średnia arytmetyczna, geometryczna.

Miary statystyczne do oceny zgodności opinii ekspertów – miary zmienności.

- współczynnik dyspersji względnej klasyfikacji (pomiar na skali nominalnej)

h=k/(k-1)(1-∑_(j=1)^k▒〖f_j〗^2 )

k – liczba wariantów odpowiedzi

f_j – częstość pjawiania się j-tego wariantu odpowiedzi

h∈[0;1]

Jeśli h<0,5 to przyjmuje się, że opinie były zgodne.

- rozstęp międzykwartylowy (pomiar na skali porządkowej)

∆=Q_3-Q_1

∆≤∆^*

- odchylenie standardowe (skala przedziałowa)

- współczynnik zmienności (skala ilorazowa)

Ocena dopuszczalności

Eksperci zgodni = Prognoza dopuszczalna

Przykład

Eksperci (35 osób) zapytani zostali o zainteresowanie studiami ekonomicznymi w 2015 roku. Odpowiedzi kształtowały się następująco:

Zainteresowanie studiami

Xj żadne małe średnie duże bardzo duże

nj 1 3 30 1 0

Wyznacz prognozę i oceń dopuszczalność.

Prognoza: zainteresowanie studiami ekonomicznymi w 2015 roku będzie średnie.

h = 0,32 – prognoza dopuszczalna

Prognozowanie na podstawie modeli przyczynowo-skutkowych.

Model ekonometryczny ze zmiennymi jakościowymi.

Na ogół zakłada się, że występujące w modelach eokonometrycznych zmienne mają charakter zmiennych ilościowych, przyjmujących teoretycznie nieskończenie wiele wartości.

Jednak znaczna część zjawisk ekonomicznych i społecznych ma charakter jakościowy, co ogranicza liczbę stanów, które mogą przyjmować.

Zmienne jakościowe mogą w modelu pełnić rolę zarówno zmiennych objaśniających, jak i objaśnianych.

Najczęściej reprezentantami takich zmiennych w modelu są zmienne zero-jedynkowe, które przyjmują dwie wartości:

- 1 – jeżeli zdarzenie wystąpi (obiekt ma daną cechę)

- 0 – jeżeli zdarzenie nie wystąpi (obiekt nie ma cechy).

Takie zmienne to zmienne dychotomiczne.

Zmienne jakościowe jako zmienne objaśniające (X):

- zmienne opisują typowe zjawisko o charakterze jakościowym,

- zmienne opisują wahania sezonowe w sytuacji, gdy zmienna objaśniana charakteryzuje się występowaniem tych wahań, a zmienne objaśniające nie, np.:

- Y – sprzedaż

- Xi – cena, dochody

Model pierwotny:

(y_t ) ̂=a_0+∑_(i=1)^m▒a_i ∙x_it+∑_(j=1)^r▒b_j ∙z_jt

Zmienne Zi

Z1 Z2 Z3 Z4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

… … … …

Itd.

Problem – brak niezależności liniowej zmiennych objaśniających.

Dla każdego okresu t: x0=z1+z2+z3+z4 (widać to gdy zbuduje się tabelę taką jak powyżej i dorzuci kolumnę jedynek).

Rozwiązanie problemu:

- oszacowanie modelu bez wyrazu wolnego – a0

- oszacowanie modelu bez jednej ze zmiennych - Zi

Model szacowany:

(y_t ) ̂=α_0+∑_(i=1)^m▒α_i ∙x_it+∑_(j=1)^(r-1)▒β_j ∙z_jt

Przejście do parametrów modelu pierwotnego

a_0=∝_0+(∑_(j=1)^r▒β_j )/r

β_r=0 a_i=∝_i i=1,…,m

b_0=β_0+(∑_(j=1)^r▒β_j )/r

∑_(j=1)^r▒b_j =0

Interpretacja parametrów modelu pierwotnego

- parametry ai – klasycznie

- parametry bi – w fazie i-tej wartości rzeczywiste zmiennej były wyższe/niższe przeciętnie o bi od wartości wynikającej z modelu nie uwzględniającego sezonowości ceteris paribus

Reszta postępowania jak przy klasycznym modelu ekonometrycznym.

Podsumowanie wykładu.

Właściwe wykorzystanie metod prognostycznych wymaga postępowania zgodnie z obowiązującymi regułami.

Ważniejsze z nich to:

- uwzględnienie możliwości stosowania poszczególnych metod prognostycznych

- stosowanie do budowy prognoz modeli o odpowiedniej jakości

- ocena jakości zbudowanych prognoz.

Różne modele wybieramy z powodu różnic w poszczególnych obszarach:

- rodzaj danych,

- zakres danych niezbędnych do wyznaczania prognoz,

- charakter dotychczasowych zmian zmiennej prognozowanej,

- charakter dopszczalnych zmian w zmiennej prognozowanej w okresie prognozy.

Egzamin: część teoretyczna – pytania otwarte (raczej krótkie). Ok. 5 pytań, 5-6 minut/pytanie.

Zagadnienia:

- umiejętność formułowania zadania prognostycznego,

- umiejętność określenia, czy dane stwierdzenie jest prognozą z uzasadnieniem,

- przykłady prognoz o różnych funkcjach z uzasadnieniem,

- przykłady szeregów czasowych zmiennych charakteryzujących się daną składową systematyczną z uzasadnieniem przyczyn, czynników,

- umiejętność rozróżniania oceny jakości prognozy ex ante i ex post,

- warunki stosowania poszczególnych metod prognostycznych,

- umiejętność wyboru metody i modelu dla danego przypadku z uzasadnieniem,

- umiejętnosć włąściwego przypisywania sposobów oceny dopuszczalności prognoz do rodzaju prognoz i metod prognostycznych,

- różnice pomiędzy grupami metod/metodami prognostycznymi,

- postawy prognostyczne – co oznacza, kiedy, konsekwencje dla procesu prognostycznego,

- składowe szeregu czasowego, przyczyny powstawania,

- identyfikacja składowych szeregu czasowego – umiejętność, znajomość sposobów, cele,

- weryfikacja prognoz – sposoby, cele, dokonywanie wyborów,

- itd.