Ruch harmoniczny prosty

Ruch harmoniczny prosty jest ruchem drgającym. Ruch ten odbywa się pod wpływem siły zwróconej zawsze w stronę położenia równowagi i posiadającej wartość wprost proporcjonalną do wychylenia z położenia równowagi. Taką siłą może być przykładowo siła sprężystości sprężyny F = – kx.

Przykłady ruchu harmonicznego.

Ciało o masie m zaczepione do jednego końca sprężyny wykonuje drgania harmoniczne pod wpływem siły F = – kx, jeśli zostanie wychylone z położenia równowagi poprzez naciągnięcie lub ściśnięcie sprężyny:

Innym przykładem ruchu harmonicznego jest ruch wahadła matematycznego, które składa się z punktu materialnego o masie m zawieszonego na cienkiej i nierozciągliwej nici. Jeżeli wychylimy tę masę z położenia równowagi o bardzo mały kąt i puścimy swobodnie, to będzie ona wykonywała drgania harmoniczne, pod wpływem siły

Widać, że tutaj, że

Druga składowa siły ciężkości jest równoważona przez siłę, z jaką nić działa na ciało która jest składową siły ciężkości. (Fr = - Fn ).

Siła powodująca drgania harmoniczne ma w każdej chwili ruchu inną wartość i dlatego jest przyczyną zmiennego przyspieszenia, które ma kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem tej siły. Ruch harmoniczny jest przykładem ruchu niejednostajnie zmiennego. Ponieważ siły oporu są w tym ruchu pomijalnie małe, to drgania harmoniczne nie są tłumione. Ciało znajdujące się w ruchu harmonicznym nazywamy oscylatorem harmonicznym.

Oscylator harmoniczny

 

Oscylator harmoniczny, wyidealizowany układ fizyczny - punkt materialny o masie m, na który działa siła proporcjonalna do chwilowego wychylenia x od pewnego położenia równowagi. Klasyczne równanie ruchu oscylatora harmonicznego ma postać:



jego ogólnym rozwiązaniem jest funkcja:



co oznacza, że punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o częstości kołowej



(A jest ich amplitudą, ϕ - stałą fazą).

W mechanice kwantowej rozwiązaniami równania Schrödingera dla oscylatora harmonicznego są funkcje falowe wyrażone przez iloczyny wielomianów Hermite'a i funkcji wykładniczej znikającej do zera w nieskończoności, widmo energetyczne drgań jest skwantowane, energia oscylatora harmonicznego może przyjmować wartości zgodne ze wzorem: En=hω(n+1/2), n=0,1,2,...

Oscylator harmoniczny lub układ kilku oscylatorów harmonicznych jest przybliżonym modelem teoretycznym wielu prawdziwych obiektów fizycznych.

Drgania swobodne

Drgania swobodne- drgania jakie wykonuje układ mechaniczny wychylony z położenia trwałej równowagi, jeżeli jeżeli nie działają nań żadne inne siły poza tymi, które określają położenie równowagi. Przeciwieństwem drgań swobodnych są drgania wymuszone i drgania tłumione. Przykładem drgań swobodnych może być wahadło bez tarcia i oporu powietrza.

  Drgania wymuszone

Drgania wymuszone zachodzą pod wpływem zewnętrznej siły, będącej źródłem energii podtrzymującej drgania.

Siła wymuszająca FW ma zwykle charakter siły o wartości okresowo zmiennej:

FW = FW0sinωt

gdzie: FW0 – amplituda siły wymuszającej.

Amplituda drgań wymuszonych nie jest stała i zależy od częstości siły wymuszającej ω.

Amplituda drgań wymuszonych wyraża się wzorem:



• Rezonans mechaniczny zachodzi wówczas, gdy częstość siły wymuszającej ω jest równa częstości własnej układu ω0 (czyli dla częstotliwości f = f0). W warunkach rezonansu wzrasta gwałtownie amplituda drgań układu oraz jego energia.

Częstotliwość f0 nosi nazwę częstotliwości rezonansowej.

Interferencja

Interferencja to zjawisko nakładania się fal pochodzących z wielu źródeł. Interferencja jest przypadkiem ogólniejszego zjawiska superpozycji fal będącej przykładem superpozycji rozwiązań równań różniczkowych.

W fizyce wyróżnia się dwa rodzaje interferencji. Optyka najczęściej rozpatruje przypadek interferencji fal sinusoidalnych o zbliżonej częstotliwości i amplitudzie fali. Akustyka i analiza

sygnałów częściej zajmują się nakładaniem się fal o złożonych kształtach.

Równanie falowe

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:

gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. W równaniu funkcja u(x,t) jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie x w chwili t. Zadane są początkowe położenie fali f oraz początkowy impuls g. Fizycznie stała c oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol to Laplasjan.

Efekt Dopplera

Efekt Dopplera – zjawisko obserwowane dla fal, polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło fali oraz zarejestrowanej przez obserwatora, który porusza się względem źródła fali. Dla fal rozprzestrzeniających się w ośrodku, takich jak na przykład fale dźwiękowe, efekt zależy od prędkości obserwatora oraz źródła względem ośrodka, w którym te fale się rozchodzą. W przypadku fal propagujących się bez udziału ośrodka materialnego, jak na przykład światło w próżni (w ogólności fale elektromagnetyczne), znaczenie ma jedynie różnica prędkości źródła oraz obserwatora.

Efekt Dopplera dla fal mechanicznych



Rysunek : Wpływ ruchu źródła na powstającą falę

1 - fala gdy źródło nie porusza się

2 - fala gdy źródło porusza się

A - położenie źródła w momencie początkowym

B - obserwator



Gdy źródło fali wysyła kolejne drgania z taką samą częstotliwością i porusza się, odległość między kolejnymi grzbietami jest zależna od kierunku rozchodzenia się fali. Źródło przybliża się do zaburzeń które wysłało, w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu źródła, a oddala się od fali przemieszczającej się w kierunku przeciwnym. Tak więc w kierunku ruchu źródła kolejne grzbiety falowe są emitowane w mniejszej odległości niż gdyby źródło spoczywało. Nieruchomy obserwator odbiera to jako zmianę częstotliwości fali, ale odległości między nimi zależą od położenia obserwatora względem kierunku ruchu źródła.

Podobnie jeśli obserwator zbliża się do źródła to wprawdzie odległości między grzbietami i ich prędkość propagacji są takie same w każdym kierunku, ale obserwator spotyka grzbiety fal częściej, co powoduje wrażenie większej częstości fal.

Jeżeli źródło lub obserwator poruszają się w innym kierunku niż prosta łącząca je, efekt wywołują składowe prędkości źródła i obserwatora równoległe do prostej łączącej źródło z obserwatorem.

Fala mechaniczna emitowana przez ruchome źródło

Poruszające się źródło pomiędzy wysłaniem dwóch kolejnych grzbietów fali, czyli w czasie równym jednemu okresowi fali T, przebywa drogę:



emitując kolejny grzbiet w miejscu przesuniętym względem miejsca emisji poprzedniego grzbietu o s i o tyle zmniejsza się długość fali dla obserwatora w kierunku, którego porusza się źródło.



Co prowadzi to do wzoru na częstotliwość fali odbieranej:



gdzie:

s – droga,

T – okres fali generowanej przez źródło,

λ – długość fali odbieranej przez obserwatora,

λz – długość fali generowanej przez nieruchome źródło,

v – prędkość fali,

fo – częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,

fz – częstotliwość fali generowanej przez źródło,

vz – składowa prędkości źródła względem obserwatora, równoległa do kierunku łączącego te dwa punkty.

Efekt Dopplera zapisuje się określając prędkość ruchu w odniesieniu do prędkości fali w ośrodku, przyjmując oznaczenie:



Fala mechaniczna - przemieszczający się obserwator

W przypadku spoczywającego źródła odległości między kolejnymi grzbietami fali są niezależne od kierunku, ale zmienia się częstość ich spotykania przez poruszającego się obserwatora. Jeśli obserwator zbliża się do źródła, to względna prędkość obserwatora i ruchu falowego jest równa vwz=v + vobs wobec tego czas między obserwacjami kolejnych frontów jest równy:



ostatecznie



W powyższych wzorach symbole prędkości oznaczają moduł (wartość) prędkości, znak (+ -) przed prędkościami, wynika z przyjętego jako dodatni zwrotu prędkości w wyprowadzaniu wzoru.

Rezonans

Kiedy mówimy o drganiach nie możemy zapomnieć o zjawisku rezonansu. Z różnych jego rodzajów (mechaniczny, akustyczny, elektryczny, jądrowy, elektronowy…) my zajmiemy się głównie mechanicznym.

Zazwyczaj kiedy obserwujemy drgania jakiegoś ciała lub układu zauważamy, że po pewnym czasie ustają. Dzieje się tak dlatego, że większość drgań napotyka na działanie sił oporu samego ośrodka drgającego, czy też ośrodka w którym zachodzą. Działanie takich sił powoduje, że energia drgań zostaje rozproszona w otoczeniu.

Inaczej jednak może się stać kiedy na układ drgający będziemy odpowiednio oddziaływać małymi impulsami siły. Wówczas do takiego układu będziemy dostarczać małych porcji energii.

Każdy wie jak wygląda pojedyncza huśtawka, z której po rozbujaniu można bić rekordy w skoku w dal. Przyglądając się jej z boku można nawet zauważyć podobieństwo do wahadła.



Wiemy, że kula zawieszona na nici o określonej długości (podobnie jak ciało drgające na sprężynie) lubi wykonywać drgania o okresie . Podobnie huśtawka o określonej konstrukcji będzie kołysała się z jej charakterystycznym okresem. Wiemy też, że odwrotnością okresu jest częstotliwość: . Inaczej zarówno kula na nici jak huśtawka lubią drgać ze swoją ulubioną częstotliwością. Nazwijmy ją częstotliwością własną układu i oznaczmy . Więcej, każde ciało lubi drgać ze swoją charakterystyczną częstotliwością niezależnie od tego czy jest to kawałek metalu, wahadło, most czy konstrukcja samolotu.

Wróćmy zatem do naszej huśtawki. Trudno sobie wyobrazić sytuację, gdzie siedzi na niej potężny dorosły chłop a my jednym zamachnięciem maksymalnie ją wychylamy. Nie da rady. Jednak możemy znaleźć sposób. Wystarczy, że siedzącej osobie podpowiemy by delikatnie się kołysała, raz w jedną raz w drugą stronę. W ten sposób będzie działała małymi porcjami siły raz w jedną raz w drugą stronę. Jeśli częstotliwość działania impulsów siły zostanie zgrana z tą z jaką huśtawka lubi drgać czyli częstotliwością własną amplituda wychyleń zaczynie rosnąć, i szybko osiągnie znaczne wartości. Właśnie w takiej sytuacji obserwujemy zjawisko rezonansu.

Szkodliwe i pożądane przypadki rezonansu

Mechanizm opisanego powyżej zjawiska może być szkodliwy:

Regularne, okresowe, nawet niezbyt silne podmuchy wiatru potrafią zniszczyć pokaźnych rozmiarów most. Wystarczy, że częstotliwość podmuchów zgra się z częstotliwością z jaką drga most (każde ciało drga jeśli je pobudzimy).

Kolumna wojskowa nie może przechodzić przez most krokiem defiladowym. Jeśli regularne uderzenia butów w podłoże by się zgrały z częstotliwością własną mostu mogło by dojść do zawalenia.

Konstrukcje samolotów są nitowane. Podczas lotu powstają turbulencje, które wprawiają samoloty w drgania. Gdyby nie luzy na nitach cała konstrukcja samolotu by mogła wejść w rezonans z drganiami pochodzącymi od turbulencji i samolot by się rozpadł.

Mechanizm opisanego powyżej zjawiska może być pożądany:

Pobudzając ultradźwiękami do drgań kamienie nerkowe można wprowadzić je w stan rezonansu z impulsami dźwięku. Amplituda drgań gwałtownie wrasta i kamień się kruszy. Przy czym częstotliwość drgań kamieni znacznie różni się od częstotliwości drgań struktury nerki więc nie ma obaw, że się zniszczy nerkę.

Działanie huśtawki na placu zabaw.

Rezonans akustyczny, gdzie drgania akustyczne wchodzą w rezonans z pudłem rezonansowym i amplituda dźwięku rośnie tak, że staje się wyraźnie słyszalny.