Symetria osiowa to odwzorowanie płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi (prostej) k, każdemu punktowi A przyporządkowuje punkt A’.

Punkty A i A’ wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś k i leżą w równej odległości od osi k po jej przeciwnych stronach.



Symetria osiowa punktu

Symetria punktu względem prostej



Symetria osiowa figury

Symetria figury względem prostej



Oś symetrii może przechodzić przez daną figurę (tutaj przez trójkąt ABC)



Figury osiowosymetryczne

Jeżeli figura jest symetryczna sama do siebie względem prostej k, to figurę nazywamy osiowosymetryczną.

Prostą k nazywamy osią symetrii tej figury.

Figury mogą mieć jedną oś symetrii...



...lub wiele osi symetrii.

Wszystkie wielokąty foremne, posiadają kilka osi symetrii.



Twierdzenie

Symetria osiowa jest izometrią.

Symetria osiowa, jak każda izometria, zachowuje kształt figury i jej wymiary.

Obrotem dookoła punktu O o kąt α nazywamy takie przekształcenie

geometryczne, które odwzorowuje punkt O w ten sam punkt,

natomiast każdy inny odwzorowuje w punkt oddalony od punktu O

o tę samą odległość oraz taki, że kąt AOA' (gdzie A – punkt

pierwotny, A' – punkt powstały przez odwzorowanie tym

przekształceniem punktu A) jest równy α.

Przykład obrotu.









Symetria osiowa

Symetrią osiową względem prostej k nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym każdemu punktowi Aprzyporządkowany jest punkt A', leżący na prostej prostopadłej do tej prostej k przechodzącej przez punkt A w tej samej odległości od k co punkt A, ale po drugiej stronie prostej k. Prostą k nazywamy osią symetrii.

Symetrię osiową względem prostej k nazywamy również odbiciem symetrycznym względem prostej k lub symetrią względem prostej k.

Każdy punkt prostej k jest punktem stałym symetrii.

Symetria środkowa

Symetrią środkową względem punktu O zwanego środkiem symetrii nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym punkt O jest stały, a każdemu innemu punktowi A przyporządkowuje punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinkaAA'.

Symetrię środkową o środku O nazywamy również odbiciem symetrycznym względem punktu O lub symetrią względem punktu O.

Punkt O jest punktem stałym symetrii środkowej.

Figura f ma środek symetrii S, jeżeli punkty symetryczne względem S do punktów figury f też należą do f. Punkt S nazywamy środkiem symetrii figury f.

Figury Osiowosymetryczne











Figury środkowo symetryczne































































Symetria środkowa o środku P (symetria względem punktu P) – odwzorowanie geometryczne SP prostej, płaszczyzny lub przestrzeni takie, że SP(Q) = R wtedy i tylko wtedy, gdy punkt P, nazywany środkiem symetrii środkowej, jest środkiem odcinka QR. Punkty Q i R nazywa się punktami symetrycznymi względem środka symetrii P.



Własności symetrii środkowej:

1. Jedynym punktem stałym symetrii środkowej jest jej środek.

2. Symetria środkowa na płaszczyźnie jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się w środku symetrii pod kątem prostym.

3. W przestrzeni, symetria środkowa jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych, których płaszczyzny przechodzą przez środek symetrii i są wzajemnie prostopadłe.

4. Każda symetria środkowa na płaszczyźnie jest izometrią parzystą, zaś w przestrzeni izometrią nieparzystą.

5. Symetria środkowa jest inwolucją tzn. jest identyczna z odwzorowaniem odwrotnym do niej.



Punkty symetryczne względem osi x

Zadanie 1

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty:

A = (3, 2); B = (5, -1); C = (-2, 4); D = (-4, -3); E = (0, 4); F = (7, 0) i znajdź punkty do nich symetryczne względem osi x.



Zauważ, że punkty symetryczne względem osi x mają równe pierwsze współrzędne, a drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi, czyli



Jeżeli punkt leży na osi x, to punktem symetrycznym do niego względem osi x jest ten sam punkt.

Punkty symetryczne względem osi y

Zadanie 2

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: A = (2, 3); B = (0, 2); C = (-3, -4); D = (-5, 0) i znajdź punkty do nich symetryczne względem osi y.

Rozwiązanie:



Punktami symetrycznymi względem osi y są punkty:



Zauważ, że punkty symetryczne względem osi y mają równe drugie współrzędne, a pierwsze współrzędne są liczbami przeciwnymi, czyli



Jeżeli punkt leży na osi y, to punktem symetrycznym do niego względem osi y jest ten sam punkt.

Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych

Zadanie 3

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: A = (3, 2); B = (0, 4); C = (-5, 0); D = (-2, 2) i znajdź punkty do nich symetryczne względem początku układu współrzędnych.



Rozwiązanie:

Punktami symetrycznymi względem punktu (0, 0) - początku układu współrzędnych są punkty:



Zauważ, że współrzędne punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych są liczbami przeciwnymi, czyli

Symetrię osiową względem punktu O oznaczamy następująco: , natomiast zapis czytamy w następujący sposób: "Obrazem punktu A w symetrii środkowej jest punkt A'."

Poniższa ilustracja pokazuje symetrię środkową pewnej figury ABCDE.

Symetria środkowa względem punktu O jest złożeniem dwóch symetrii osiowych względem prostych prostopadłych przecinających się w punkcie O.

Ilustruje to poniższy rysunek:

Symetria środkowa względem punktu O jest obrotem o kąt półpełny dookoła punktu O.

Ilustruje to poniższy rysunek:



Symetria środkowa - ujęcie analityczne

W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

Znajdziemy równanie krzywej y=x2+1 w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii środkowej otrzymujemy:



Zadanie symetria środkowa

Znaleźć obraz trójkąta równobocznego w symetrii środkowej względem dowolnego wierzchołka tego trójkąta



Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.



Kwadrat oznaczony kolorem różowym przekształcono w kwadrat żółty względem O1, następnie względem kolejnego wierzchołka O2 uzyskano obraz - kwadrat zielony, następnie fioletowy i wreszcie względem punktuO4 otrzymano obraz, który jest kwadratem wyjściowym. Obrazem kwadratu w tak zdefiniowanym przekształceniu jest ten sam kwadrat.

Znaleźć obraz trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, jeżeli A=(-2,3), B=(5,3, C=(0,7)

Rozwiązanie zadania uproszczone



Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:





Zatem obrazem punktu o współrzędnych (x,y) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt o współrzędnych (-x,-y). Mamy więc:



Trójkąt A'B'C' jest obrazem trójkąta ABC w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Znaleźć obraz krzywej y=x3-x2 w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie zadania uproszczone



Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:





Mamy więc:

.

Srodek symetri figur

Jeżeli istnieje taki punkt O taki, że obrazem figury f w symetrii środkowej względem tego punktu jest ta sama figura, to punkt ten nazywamy środkiem symetrii figury f, a figurę nazywamy środkowosymetryczną.

Do figur środkowosymetrycznych należą:

• okrąg - środkiem symetrii jest środek okręgu

• koło - środkiem symetrii jest środek koła

• prosta - środkiem symetrii jest dowolny punkt prostej

• kwadrat - środkiem symetrii jest punkt przecięcia się przekątnych kwadratu

A oto inne przykłady figur środkowosymetrycznych



OŚ SYMETRII FIGURY

Oś symetrii figury F nazywamy taką prostą p, dla której obrazem figury F w symetrii osiowej względem prostej p jest ta sama figura:



Figurę, która jest symetryczna sama do siebie względem pewnej osi symetrii nazywamy figurą osiowo symetryczną.



Na rysunku przedstawiono figury, która mają:

• pierwsza - jedną oś symetrii

• druga - jedną oś symetrii

• trzecia - dwie osie symetrii

• czwarta - cztery osie symetrii

Osie symetrii zostały zaznaczone przerywaną linią.

A oto inne przykłady:

• Prosta ma nieskończenie wiele osi symetrii - są to proste prostopadłe do danej prostej i dodatkowo ta sama prosta

• Odcinek ma dwie osie symetrii - jedna jest jego symetralną, druga - prosta zawierająca dany odcinek

• Okrąg i koło mają nieskończenie wiele osi symetrii - wszystkie przechodzą przez środek okręgu (koła)

Niech będzie dany niezerowy odcinek i symetralna a tego odcinka. Prawdziwe są następujące zdania:

• Jeśli |XA|=|XB|, to punkt X leży na symetralnej a

• Jeśli |XA|<|XB|, to punkt X leży po tej samej stronie symetralnej a, co punkt A

• Jeśli |XA|>|XB|, to punkt X leży po tej samej stronie symetralnej a, co punkt B

Powyższe twierdzenie ilustruje rysunek.



DWUSIECZNA KĄTA

Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.

Poniższy rysunek ilustruje dwusieczną kąta wklęsłego i wypukłego.



Dwusieczna kąta dzieli kąt na dwa kąty przystające.

Dwusieczna kąta wypukłego i niepółpełnego jest zbiorem wszystkich punktów leżących w obszarze tego kąta i mających jednakowe odległości od ramion tego kąta.

Zadania

Znaleźć oś symetrii trójkąta ABC, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(3,3)

Rozwiązanie zadania uproszczone



Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Oś symetrii figury jest to taka prostą a, dla której obrazem figury F w symetrii osiowej względem prostej ajest ta sama figura. Sporządzamy rysunek i szukamy osi symetrii:



Znajdujemy współrzędne punktu D, korzystając ze wzoru na środek odcinka :





Mamy więc:



Widać, że punkty D i C leżą na tej samej prostej x=3, która jest osią symetrii naszego trójkąta. (współrzędne xobu punktów są takie same).

.

Znaleźć obraz okręgu (x+2)2+(y-1)2=4 w symetrii osiowej względem osi OY. Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.

Rozwiązanie zadania uproszczone





Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W w symetrii osiowej względem osi OY obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:



Mamy więc:





Równanie okręgu o promieniu r i środku O=(xs,ys) ma postać:



Zatem okrąg ma środek w punkcie O(-2,1) i promień r=2, obraz ma środek w punkcie O'=(2,1) i promieńr'=2

.

Znaleźć obraz krzywej y=3x2-2x+1 w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Rozwiązanie zadania uproszczone

W symetrii osiowej względem osi OX:



W w symetrii osiowej względem osi OY:



Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W w symetrii osiowej względem osi OY obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:



Mamy więc:





W w symetrii osiowej względem osi OX obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:



Mamy więc:



© Media Nauka, 2011-03-19

Znaleźć obraz trójkąta ABC, gdzie A=(-2,3), B=(2,4), C=(2,-2) w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Rozwiązanie zadania uproszczone

a) OX



a) OY



Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W w symetrii osiowej względem osi OY obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:





Zatem mając punkt P=(x,y), otrzymujemy obraz P'=(-x,y). Mamy więc:



W w symetrii osiowej względem osi OX obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:



Zatem mając punkt P=(x,y), otrzymujemy obraz P'=(x,-y). Mamy więc:



Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiązanie ilustruje rysunek:



Obrazem trójkąta ABC w symetrii osiowej względem prostej zilustrowanej na rysunku jest trójkąt A'B'C'.

Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiązanie ilustruje rysunek:



Obrazem kwadratu ABCD w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiednich boków jest kwadrat A'B'C'D'.

Znaleźć równanie dwusiecznej kątów wyznaczonych przez proste o równaniach i

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wszystkie punkty dwusiecznej kąta mają taką samą odległość od ramion kąta. Ponieważ ramiona kąta pokrywają się z równaniami danych prostych, problem sprowadza się do zastosowania wzoru na odległość punktu od prostej , która wyrażona jest wzorem:





Trzeba zmienić postaci równań prostych z równań kierunkowych na postać występującą w powyższym wzorze:



Dla drugiej prostej:



Odległość dowolnego punktu P=(x,y) dwusiecznej kąta od prostej będzie więc równa:



Odległość dowolnego punktu P=(x,y) dwusiecznej kąta od prostej będzie więc równa:



Jak wcześniej wspominano dla punktów dwusiecznej odległości te są równe, więc:



Ponieważ mamy do czynienia z wartościami bezwzględnymi musimy rozpatrzyć kilka przypadków w zależności od wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną.

1) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną większych od zera lub równych zero możemy opuścić wartości bezwzględne (ponieważ mamy tutaj równanie z dwoma niewiadomymi warunek ten będzie spełniony dla wszystkich punktów jednego kąta z czterech wyznaczonego przez dwie proste):



2) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki obu wyrażeń na przeciwne:



Otrzymaliśmy to samo równanie.

3) i 4) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera w jednym przypadku i większych lub równych zero w drugim przypadku (otrzymamy ten sam wynik) możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki jednego z wyrażeń na przeciwny:



Sprawdźmy nasze rozwiązanie, sporządzając szkic wykresu:



Znaleźć równanie symetralnej odcinka , gdzie

Rozwiązanie zadania uproszczone









Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Symetralna odcinka dzieli go na dwie równe części i jest prostopadła do prostej zawierającej dany odcinek. Aby znaleźć równanie symetralnej, skorzystamy z obu tych własności.





Wyznaczymy najpierw równanie prostej wyznaczonej przez punkty A, B, wstawiając do równania kierunkowego prostej y=ax+b wartości współrzędnych tych punktów. Rozwiązanie układu równań pozwoli nam wyznaczyć współczynniki a oraz b

Równanie prostej zawierającej odcinek było potrzebne, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy symetralnej, oznaczmy równanie symetralnej przez . Ponieważ proste te są prostopadłe, między ich współczynnikami kierunkowymi zachodzi zależność:



Mamy więc:



Brakuje nam jeszcze współczynnika bs. Skorzystamy z tego, że symetralna przechodzi przez środek odcinka, który możemy wyznaczyć następująco:

Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka :



Korzystamy z powyższego wzoru:



Wstawiamy otrzymane współrzędne do równania symetralnej i obliczamy wyraz wolny:

Równanie symetralnej odcinka: