ROZKŁAD WIELOMIANÓW NA CZYNNIKI

Rozkładając wielomian na czynniki, mamy do dyspozycji kilka metod. Każde z wymienionych poniżej działań zostało opisane wcześniej (linki podane w nawiasach).

- wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias ( wyłączanie przed nawias),

- wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia ( zamiana sumy na iloczyn),

- zamiana na postać iloczynową funkcji kwadratowej ( postaci funkcji kwadratowej),

- grupowanie wyrażeń ( zamiana sumy na iloczyn).

Oczywistym jest fakt, że o wyborze metody, lub metod jakie zastosujemy, decyduje postać danego wielomianu, a nie nasze upodobania. Wybór odpowiedniej metody przysparza zazwyczaj najwięcej problemów. Aby sobie to ułatwić, powinniśmy sprawdzać możliwość wykorzystania wymienionych metod, zgodnie z wymienioną kolejnością.

Ponadto aby było możliwe wykorzystanie konkretnej metody, musi być spełniony określony warunek.

1) wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

WARUNEK: „x” musi pojawiać się w każdym wyrażeniu (jednomianie).

Przykład:

2) wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia

WARUNEK: wielomian musi mieć formę odpowiadającą któremuś ze wzorów skróconego mnożenia (odpowiednia liczba wyrażeń i odpowiednie znaki).



Przykład:



3) zamiana na postać iloczynową funkcji kwadratowej

WARUNEK: Wielomian musi mieć postać trójmianu kwadratowego (funkcji kwadratowej).

Przykład:

4) grupowanie wyrażeń

WARUNEK: Liczba wyrażeń musi być parzysta (minimalnie muszą występować cztery wyrażenia).

Przykład:

Wielomian rozkładamy aż do momentu rozkładu na czynniki liniowe: gdy w żadnym nawiasie nie ma zmiennej „x” podniesionej do jakiejkolwiek potęgi. Ponadto, poza nawiasami jedynym działaniem jakie może istnieć, jest mnożenie.

UWAGA: Przekształcenie wielomianu do tej formy nie zawsze będzie dla nas wykonalne. W takim przypadku kończymy rozkład wielomianu, gdy „już nic więcej nie da się zrobić”.

Przykład prawidłowo rozłożonego na czynniki wielomianu:



Rozkład wielomianów na czynniki przedstawimy na kilku różnych przykładach.

Przykład 1.



Przykład 2.



Przykład 3.



Przykład 4.

ROWNANIA WIELOMINOWE

Aby rozwiązać równanie wielomianowe, należy w pierwszej kolejności (jeżeli jest to konieczne) przekształcić je do odpowiedniej postaci. Wszystkie wyrażenia powinny znajdować się po lewej stronie w odpowiedniej kolejności (od największej do najmniejszej potęgi).

Przykład:



Gdy równanie wielomianowe jest już zapisane w odpowiedniej formie, należy wykonać dwie czynności:

1) Rozkładamy równanie na czynniki, tak jak zostało to przedstawione w poprzednim rozdziale.

Po dokonaniu rozkładu na czynniki rozpatrywanego przykładu, otrzymamy:

2) Rozwiązujemy kilka równań, przyrównując każdy z czynników do zera.

Powyższe równanie wielomianowe ma trzy rozwiązania: -5, 0, 2.

Przykład:



UWAGA: W przypadku równań wielomianowych nie jest konieczne rozkładanie na czynniki do samego końca. Wystarczy, że otrzymamy czynniki, które po przyrównaniu do zera, dadzą równanie możliwe do rozwiązania.

Przykład:

Zalecamy jednak rozkładanie wielomianu do końca w przypadku, gdy w zadaniu pojawia się pytanie o krotność rozwiązania!

KROTNOŚĆ ROZWIĄZANIA

Krotność danego rozwiązania jest równa potędze, do jakiej podniesiony jest czynnik, z którego je otrzymaliśmy.

Przykładowo: Rozkładając na czynniki wielomian w równaniu otrzymaliśmy: