1.Liczby naturalne

N={0,1,2,3…}

Cechy:

• Element najmniejszy 0

• Nie istnieje element największy, zbiór liczb naturalnych jest nieograniczony z góry

• Zbiór N jest nieskończony

• Mówimy, że działanie jest wewnętrzne w zbiorze jeżeli dla dowolnych liczb należących do tego zbioru wynik działania też należy do zbioru

Działania wewnętrzne w zbiorze liczb naturalnych to dodawanie i mnożenie

Liczba pierwsza

Liczbą pierwszą nazywamy liczbę naturalną , która ma dokładnie dwa różne dzielniki

(1 i samą siebie)

Liczba złożona

Liczbą złożoną nazywamy liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki

UWAGA!! 0 i 1 nie są liczbami złożonymi i pierwszymi

Dzielnik

Niech liczby a, b, c będą liczbami naturalnymi większymi od zera. Liczbę b nazywamy dzielnikiem liczby a jeżeli istnieje taka liczba naturalna c, że a=bc.

Zauważ, że:

• Liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej,

• Liczba 0 nie jest dzielnikiem żadnej liczby,

• Każda dodatnia liczba naturalna jest dzielnikiem liczby 0

Cechy podzielności

• Liczba naturalna jest podzielna przez 2 (5, 10), gdy cyfra jedności podzielna jest przez 2 (5, 10)

• Liczba naturalna jest podzielna przez 4 (25, 50, 100), gdy liczba utworzona z cyfr dziesiątek i jedności jest podzielna przez 4 (25, 50, 100)

• Liczba naturalna jest podzielna przez 3 (9), gdy suma jej cyfr podzielna jest przez 3 (9)

Jeśli 2|n to liczbę n nazywamy parzystą, a jeśli nie dzieli to nieparzystą.

Rozkład liczby na czynniki

Rozkład liczby naturalnej na czynniki jest przedstawieniem tej liczby w postaci iloczynu liczb naturalnych większych od 1.

Na przykład liczbę 52 można rozłożyć na czynniki następująco:

52=2*26, 52=4*13, 52=2*2*13

Ostatni z tych przykładów jest rozkładem na czynniki pierwsze.

TWIERDZENIE

Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki będące liczbami pierwszymi. Istnieje jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności czynników).

Rozkład liczby 150:

150 | 3

50 | 2

25 | 5

5 | 5

1 |

Praktycznym zastosowaniem rozkładu na czynniki pierwsze jest wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności – NWW oraz największego wspólnego dzielnika - NWD



120 | 2 54 | 2

60 | 2 27 | 3

30 | 2 9 | 3

15 | 3 3 | 3

5 | 5 1 |

1 |

NWW(120, 54)= 2*2*2*3*3*3*5= 1080

NWD(120, 54)= 2*3= 6



2. Liczby całkowite

Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne.

C={…,-2,-1,0,1,2…}

• Zbiór liczb całkowitych jest nieskończony i nieograniczony (z dołu i góry).

• Nie istnieją w zbiorze elementy: najmniejszy i największy.

• Działaniami wewnętrznymi w zbiorze C są; dodawanie, odejmowanie i mnożenie

3. Liczby wymierne

Liczbą wymierną nazywamy liczbę, którą można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego tzn. ilorazu dwóch liczb całkowitych.

• Zbiór liczb wymiernych jest nieskończony i nieograniczony (z dołu i góry)

• Nie istnieją w zbiorze elementy: najmniejszy i największy

Ułamki zwykłe przedstawiamy w możliwie najprostszej postaci, a więc w postaci nieskracalnej, Np. ( )

Działania na liczbach wymiernych

4. Liczby niewymierne

Liczbą niewymierną nazywamy liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna, czyli nie można jej przedstawić za pomocą ułamka zwykłego.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Przykłady:



jeżeli n nie jest kwadratem liczby naturalnej

Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywamy zbiorem liczb rzeczywistych i oznaczamy literą R.

5. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej

Sposób przedstawienia liczb rzeczywistych w postaci ułamka dziesiętnego.

Ułamki o mianownikach: 10, 100, 1000.. nazywamy ułamkami dziesiętnymi.

Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci dziesiętne skończonej lub okresowej.

Każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną.

Rozwinięcie dziesiętne skończone:



Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe:

W rozwinięciu dziesiętnym nawias oznacza powtarzanie się nieskończenie wiele razy zapisanej w nim grypy cyfr. Taką powtarzającą się grupę cyfr nazywamy okresem.

Liczbę cyfr występujących w okresie nazywamy długością okresu.

Przekształcanie ułamków dziesiętnych tych z okresem na zwykłe to Ci wytłumaczę :D

6. Pierwiastek z liczby nieujemnej

Pierwiastkiem stopnia n z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną b, że zachodzi warunek



Działania na pierwiastkach:

• Pierwiastek iloczynu



• Pierwiastek ilorazu



Do zapamiętania kwadraty liczb do 20 i sześciany do 6 !! Mile widziane więcej :D

7. Pierwiastek nieparzystego stopnia

Tak samo jak w punkcie 6 tylko pierwiastki nieparzystego stopnia obejmują też liczby ujemne.

Na przykład:



I tak dalej :D

8. Potęga o wykładniku całkowitym

Dla liczby naturalnej n > 1 potęgą nazywamy iloczyn n czynników równych liczbie a:

, gdzie

a – podstawa potęgi

n – wykładnik potęgi

Dla liczby naturalnej n i dla liczby przyjmujemy, że:



Przyjmujemy również, że oraz

Własności potęgowania:

1.

2.

3.

4.

5.

9. Notacja wykładnicza

Liczbę dodatnią a możemy przedstawić w postaci iloczynu:



Gdzie x jest liczbą spełniającą warunki , a n – liczbą całkowitą.

Takie przedstawienie liczby nazywamy notacją wykładniczą.

10. Reguła zaokrąglania

Przybliżając liczbę w postaci dziesiętnej, zwykle stosujemy regułę zaokrąglania, która polega na odrzuceniu końcowych cyfr tej liczby:

• Gdy pierwszą z odrzuconych cyfr jest: 0, 1, 2, 3, 4, to ostatnią z zachowanych cyfr pozostawiamy bez zmian;

• Gdy pierwszą z odrzuconych cyfr jest: 5, 6, 7, 8, 9, to ostatnią z zachowanych cyfr zwiększamy o jeden.

Gdy przybliżenie liczby jest od niej mniejsze, to mówimy o przybliżeniu z niedomiarem. Natomiast gdy przybliżenie liczby jest od niej większe, to mówimy o przybliżeniu z nadmiarem.

Przykład:

przybliżenie z niedomiarem

przybliżenie z nadmiarem

Błąd przybliżenia jest równy różnicy liczby i jej przybliżenia.

11. Procenty

Procenty odnoszą się do jakieś całości ( wielkości ustalonej ).

Promil to 0,001 tej wielkości, czyli 0,1%.

12. Zbiory

Zbiór jest pojęciem pierwotnym. Pojęcie pierwotne to takie, które przyjmujemy bez definicji.

Zbiory oznaczamy dużymi literami.

Aby opisać zbiór, należy określić jakie są jego elementy.

Przykład zbioru

- zbiór liczb naturalnych

Zbiór, który ma skończoną liczbę elementów, nazywamy zbiorem skończonym.

Zbiór, do którego należy nieskończenie wiele elementów, nazywamy zbiorem nieskończonym.

- relacja „należność do zbioru”

zbiór pusty - ( nie umiem zrobić przekreślonego O ) ;(

Relacje między zbiorami:

1. Równość zbiorów

Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.

2.Zawieranie zbiorów

Mówimy, że zbiór A zawarty jest w zbiorze B, gdy element zbiory A należy do zbioru B.

Wniosek:



Zbiory są równe, gdy zbiór A zawarty jest w zbiorze B i zbiór B zawarty jest w zbiorze A.

13. Działania na zbiorach

1. Suma zbiorów

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów: A lub B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy: .

2. Iloczyn zbiorów (część wspólna)

Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą jednocześnie do obu tych zbiorów. Iloczyn zbiorów A i B oznaczamy: .



3. Różnica zbiorów

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B. Różnicę zbiorów A i B oznaczamy: .

Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, gdy nie mają wspólnych elementów, czyli zbiór pusty

14. Przedziały liczbowe

1. Przedziały ograniczone:

• Przedział otwarty (a, b) ; a < b



• Przedział domknięty <a, b> ; a < b [a, b]

• Przedział lewostronnie domknięty <a, b) ; a < b



• Przedział prawostronnie domknięty (a, b> ; a < b



2. Przedziały nieograniczone

• Przedział nieograniczony lewostronnie otwarty

• Przedział nieograniczony lewostronnie domknięty



• Przedział nieograniczony prawostronnie otwarty





• Przedział nieograniczony prawostronnie domknięty

Działania na przedziałach są takie same jak na zbiorach ( )

15. Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) z liczby nieujemnej jest ta sama liczba, a z liczby ujemnej liczba do niej przeciwna.



Przykłady:

|4,75| = 4,75 |-13| = 13

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej:

Wartość bezwzględna liczby jest równa odległości tej liczby na osi liczbowej od zera.

Własności wartości bezwzględnej:

1.

2.

3.

4.

5.

Przykłady:

a) |x| = 2 x=2 lub x=-2

b) |x|=-3 do zbioru pustego2

6.

Przykład:

a) |x| < 3 x < 3 i x > -3

b) |x| < -2 do zbioru pustego

7.

Przykład:

a) |x| > 4 x > 4 lub x < -4

b) |x| > -5

8.Odległość na osi liczbowej miedzy danymi liczbami jest równa.



9. Dla dowolnego

10. Dla dowolnego

16. Błąd bezwzględny i błąd względny

Niech a będzie przybliżeniem liczby x.

Błąd bezwzględny przybliżenia jest to wartość bezwzględna różnicy między liczbą x i jej przybliżeniem a, czyli liczba |x - a|.

Stosunek błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej liczby x nazywamy błędem względnym:

17. Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy:



Kwadrat różnicy:



Różnica kwadratów:



Sześcian sumy:



Sześcian różnicy:



Suma sześcianów:



Różnica sześcianów:

18. Sposoby opisywania funkcji

Definicja:

Dane są zbiory X i Y.

Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y, nazywamy przyporządkowanie, takie że każdemu elementowi zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element w zbiorze Y.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji;

Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji, a jego elementy wartościami funkcji.

19. Dziedzina i miejsce zerowe

Dziedziną funkcji określonej wzorem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy.

Na przykład:



Do zapamiętania:

Miejscem zerowym funkcji y = f(x) nazywamy taką wartość argumentu x, dla której f(x)=0.



20. Monotoniczność funkcji

1. Funkcja rosnąca:

Mówimy, że funkcja jest rosnąca, jeżeli ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A

2. Funkcja malejąca:

Mówimy, że funkcja jest malejąca, jeżeli ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Funkcja f jest malejąca w zbiorze A

3. Funkcja stała:

Mówimy, że funkcja jest stała jeżeli dla każdego argumentu przypisana jest ta sama wartość.

4. Funkcja niemalejąca

Funkcja jest niemalejąca w zbiorze A

5. Funkcja nierosnąca

Funkcja jest nierosnąca w zbiorze A



21. Przekształcanie wykresów funkcji

1. Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY

Wykres funkcji y = f(x)+q dla q > 0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) o q jednostek w górę wzdłuż osi OY.

Wykres funkcji y = f(x)-q dla q > 0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) o q jednostek w dół wzdłuż osi OY.

2. Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OX

Wykres funkcji y = f(x - p) dla p > 0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) o p jednostek w prawo wzdłuż osi OX.

Wykres funkcji y = f(x + p) dla p > 0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) o p jednostek w lewo wzdłuż osi OX.

22. Wektory w układzie współrzędnych

Wektor to odcinek z wyróżnionymi początkiem i końcem, często rysowany jak strzałka. Wektor o początku A i końcu B oznaczamy

Dowolny wektor na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy zapisać jako parę liczb [a, b]. W przesunięciu o wektor [a, b]:

• Współrzędna a określa, o ile jednostek nastąpiło przesunięcie w poziomie (wzdłuż osi OX), w prawo, jeśli a > 0, i w lewo, jeśli a < 0.

• Współrzędna b określa, o ile jednostek nastąpiło przesunięcie w pionie (wzdłuż osi OY), w górę, jeśli b > 0, i w dół, jeśli b < 0.

Dane są punkty . Współrzędnie wektora określa wzór:





23. Przesuwanie wykresu o wektor

Wykres funkcji y = f(x – p) + q otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji

y = f(x) o wektor [p, q].

24. Przekształcanie wykresu przez symetrię względem osi układu współrzędnych

• Wykres funkcji y = -f(x) otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji y = f(x) względem osi OX.

• Wykres funkcji y = f(-x) otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji y = f(x) względem osi OY.

25. Inne przekształcenia wykresu

• Wykres funkcji y = |f(x)| otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OX tej części wykresu funkcji f, która znajduje się pod osią OX, pozostałą część wykresu pozostawiamy bez zmian.

• Wykres funkcji y = f(|x|) otrzymujemy z wykresu funkcji f, korzystając z tego, że:

- dla x > lub = ( należących do dziedziny) zachodzi równość f(|x|) = f(x),

- wykres funkcji y = f(|x|) jest symetryczny względem osi OY.

26. Funkcje parzyste i nieparzyste

Mówimy, że funkcja f jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do D również liczba –x należy do dziedziny funkcji f oraz zachodzi równość: f(-x) = f(x)

Mówimy, że funkcja f jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do D również liczba –x należy do dziedziny funkcji f oraz zachodzi równość: f(-x)= -f(x)



27. Funkcja różnowartościowa

Mówimy, że funkcja jest różnowartościowa jeżeli dowolnych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości.

Funkcja f jest różnowartościowa (iniekcją)

28. Funkcja liniowa

Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem:

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Własności:

Twierdzenie:

Funkcja f(x) = ax + b jest funkcją monotoniczną.

• Jeżeli współczynnik a > 0, to funkcja jest rosnąca

• Jeżeli a < 0, to malejąca

• Jeżeli a = 0, to funkcja jest stała

Twierdzenie:

• Jeżeli , to funkcja liniowa f(x) = ax + b ma jedno miejsce zerowe

• Jeżeli a = 0 i b = 0 to miejscami zerowymi funkcji liniowej f(x) = ax + b są wszystkie liczby rzeczywiste

• Jeżeli a = 0, to f(x) = ax + b nie ma miejsc zerowych

Twierdzenie:

• Jeżeli a = 0 to funkcja liniowa jest funkcją parzystą

• Jeżeli b = 0 to funkcja liniowa jest nieparzysta

• Jeżeli to funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta

Twierdzenie:

• Jeżeli to funkcja liniowa jest różnowartościowa

• Jeżeli a = 0 to funkcja liniowa nie jest różnowartościowa

Punkt przecięcia funkcji liniowej f(x) = ax + b z osią OY ma współrzędne (0, b)

29. Równanie kierunkowe prostej

Równanie w postaci y = ax + b nazywamy równaniem kierunkowym prostej.

Równanie kierunkowe prostej opisuje proste, które są wykresami funkcji liniowych.

Równaniem kierunkowym nie można opisać prostych równoległych do osi Y .



a – współczynnik kierunkowy prostej

Jeżeli prosta przechodzi przez dwa punkty to:

Równoległość prostych:

Jeżeli proste dane są

l :

k : , to prosta l jest równoległa do prostej k wtedy i tylko wtedy jeśli

Prostopadłość prostych:

Jeżeli proste dane są równaniami

l :

k :

to

30. Równanie pęku prostych. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Pęk prostych

przechodzących

przez punkt P

równanie pęku prostych przechodzących przez punkt

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:



31. Równanie ogólne prostej

• Równanie ogólne prostej opisuje dowolną prostą w układzie współrzędnych

• Jeżeli B = 0 to prosta jest równoległa do osi Y

• Jeżeli A = 0 to prosta jest równoległa do osi X

Równoległość i prostopadłość prostych o równaniach ogólnych:

Równoległość:

l :

k :



Prostopadłość:

l :

k :

32. Odległość między punktami, punktem i prostą oraz prostymi równoległymi

Odległość miedzy punktami AB:

gdzie

Odległość punktu do prostej l:

Odległość między prostymi l i k:

l :

k : A i B muszą być identyczne

Środek odcinka AB:

33. Równanie liniowe

Równanie liniowe z niewiadomą x nazywamy równaniem, które można przekształcić do postaci ax + b = 0 , gdzie a i b należą do R

• Rozwiązanie równania liniowego ax + b = 0 ma jedno rozwiązanie, gdy (oznaczone)

• Ma nieskończenie wiele rozwiązań , gdy a = 0 i b = 0 (nieoznaczone)

• Nie ma rozwiązania, gdy (sprzeczne)



34. Układy równań

• Układ równań liniowych, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym.

• Układ równań liniowych, który nie ma rozwiązań, nazywamy układem sprzecznym.

• Układ równań liniowych, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy układem nieoznaczonym.

Metody rozwiązywania :

Podstawiania

z pierwszego równania wyznaczamy x lub y i podstawiamy do drugiego równania









Przeciwnych współczynników

mnożymy obie strony równania, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej x

dodajemy równania stronami



Zatem y = -3. Podstawiamy otrzymaną wartość do równania x-4y = 4 i otrzymujemy rozwiązanie układu.

Metoda wyznacznikowa

Układ równań liniowych



Liczbę W nazywamy wyznacznikiem głównym



Liczbę nazywamy wyznacznikiem x



Liczbę nazywamy wyznacznikiem y



1. Jeśli , to układ równań ma jedno rozwiązanie wyznaczone za pomocą wzorów Cramera (oznaczony )

2. Jeśli to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (nieoznaczony )

3. Jeśli to układ równań nie ma rozwiązań (sprzeczny)

Interpretacja geometryczna

• Układ równań liniowych jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy proste opisane równaniami tego układu się przecinają.

• Układ równań liniowych jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy, gdy proste opisane równaniami tego układu to dwie proste równoległe.

• Układ równań liniowych jest układem nieoznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy proste opisane równaniami tego układu się pokrywają.