Metody przybliżonego rozwiązywania układów równań nieliniowych

• Nieliniowe

Metoda bisekcji (równego podziału, połowienia)

Metoda ta to pierwsza z metod przybliżonego obliczania pierwiastków równań nieliniowych. Metoda służy do wyznaczenia miejsca zerowego danej funkcji i polega na cyklicznym połowieniu zadanego z góry przedziału aż do osiągnięcia zadanej dokładności. Metoda bisekcji polega na tym, że przedział <a,b> dzielimy na dwie równe części, czyli otrzymujemy x1 = a+b/2. Następnie obliczamy f(x1) i jeżeli wynosi ono 0, to jest to pierwiastek którego szukamy. Natomiast jeżeli f(x1) ≠ 0 to musimy obliczyć x2, do obliczenia którego używa się jednego z dwóch podprzedziałów <a; x1>, <x1; b> w którym funkcja zmienia znak. Metoda bisekcji jest zawsze zbieżna ponieważ podczas liczenia każdego przybliżenia używany jest ten podprzedział w którym funkcja zmienia znak.

Metoda Newtona (stycznych)

Metoda ta należy do metod iteracyjnych. W metodzie tej korzystamy z założenia, że funkcja f posiada co najmniej pierwszą ciągłą pochodną, oznaczoną jako f’. Zakłada się, że znane jest pierwsze przybliżenie x0 pierwiastka równania f(x) = 0. W metodzie tej iteracyjnie wyznaczamy wartość wyrażenia:

x1 = x0 - f(x0)/f’(x0)

a następnie

xn+1 = xn - f(xn)/f’(xn)

dla n > 1. Kończymy, gdy błąd metody wychodzi bardzo mały lub gdy wykonano zadaną ilość iteracji (nmax). Musimy uważać aby nie dobrać złej wartości początkowej x0 ponieważ może to doprowadzić do braku zbieżności metody.

Metoda siecznych

Metody siecznych możemy użyć jeżeli założymy, że znane są dwa początkowe oszacowania ( x0 oraz x1) wartości αpierwiastka równania f(x)=0, używając wzoru:

xn+1 = xn – f(xn)* xn – xn-1/f(xn)-f(xn-1)

dla n = 1, 2, 3, nmax. Kończymy, gdy błąd metody wychodzi bardzo mały lub gdy wykonano zadaną ilość iteracji (nmax). Metoda siecznych może być uważana za przybliżenie metody Newtona bazując na fakcie, iż:

f’(xn) ≈ f(xn) – f(xn-1)/xn-xn-1

Metody punktu stałego

Metoda punktu stałego stanowi uogólnienie iteracyjne metod w których wymagane jest podanie jednego punktu startowego. Teoria ta może więc zostać użyta do analizy metody Newtona. Metody iteracyjne w których wymagane jest podanie jednego punktu startowego można zapisać jako xn+1 = g(xn)

Wszystkie metody iteracyjne wymagające podania jednego punktu startowego można zapisać jako: xn+1 = g(xn). Jeżeli α = g(α) to α jest rozwiązaniem równania x = g(x). Wartość α jest nazywana punktem stałym funkcji g.