a[2] + b[2] = c[2]

DOWODY

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

Układanka

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a,b i c jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

Przez podobieństwo

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – , "różowy" – i "niebieski" – są podobne. Niech | AB | = c, | BC | = a i | AC | = b.

Z przystawania

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu jest równe podwojonemu polu trójkąta – podstawą trójkąta jest bok KA kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi CA tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta AEGD jest równe podwojonemu polu trójkąta – podstawą trójkąta jest bok AE prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi EG prostokąta. Jednak trójkąty i są przystające, co wynika z cechy "bok-kąt-bok" – | KA | = | CA | , | AB | = | AE | i kąt jest równy kątowi – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu jest równe polu prostokąta AEGD.

Analogicznie, rozważając trójkąty i można udowodnić, że pole kwadratu jest równe polu prostokąta BFGD. Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu .

Dowód Garfielda

Autorem innego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten jest równoważny dowodowi podanemu wyżej w sekcji Dowód - układanka. Pochodzi z roku 1876 i przebiega następująco: na przyprostokątnej | BC | = a danego trójkąta prostokątnego odkładamy | CD | = | AB | = b, a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy | BC | = a. Trójkąt jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi ; pola trójkątów i są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie . Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE o polu . Stąd równości:

Twierdzenie odwrotne

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a,b i c takie, że a2 + b2 = c2, to istnieje trójkąt o bokach długości a,b i c, a kąt między bokami o długości a i b jest prosty.

Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach 3 i 4.

Dowód[edytuj]

Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.

My to udowodnimy następująco:

Weźmy dowolny trójkąt o bokach odpowiednio:

| BC | = a, | AC | = b, | AB | = c

spełniający warunek:

a2 + b2 = c2 .

Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt taki że:

| KL | = a, | KM | = b

oraz

Trójkąt jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok LM :

| LM | 2 = a2 + b2

z trójkąta ABC mamy:

| LM | 2 = a2 + b2 = c2

zatem:

| LM | = c

Okazało się, że:

| BC | = a = | KL | , | AC | = b = | KM | , | AB | = c = | LM |

Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty i są przystające. Z faktu, iż trójkąt jest prostokątny wynika, że trójkąt jest prostokątny.