Temat 1: Pomiar swobodnej powierzchni cieczy w naczyniu wirującym ze stałą prędkością kątową dookoła osi pionowej.

Wstęp

Hydrostatyka – dział mechaniki płynów, który zajmuje się cieczą znajdującą się w stanie równowagi, co oznacza, że suma sił działających na dowolnie wybrany element cieczy jest równa zero.

Siły działające na ciecz:

1. Powierzchniowe
   Są to siły działające na zewnętrzną powierzchnię ograniczającą dany element cieczy. Są one prostopadłe do tej powierzchni i skierowane do wnętrza wydzielonej przez nią objętości cieczy. Przykładem siły powierzchniowej jest siła wywołująca nacisk tłoka na ciecz.
2. Masowe Siły te są proporcjonalne do masy danego elementu (siła ciężkości, bezwładności, odśrodkowa).

Rodzaje równowagi cieczy: ¾ bezwzględna – cząstki cieczy są nieruchome względem każdego układu odniesienia (zarówno względem układu związanego z naczyniem, jak i każdego zewnętrznego); ¾ względna – wszystkie cząstki cieczy zachowują niezmienne położenie względem siebie i względem ścian poruszającego się naczynia. Oznacza to, że względem układu współrzędnych związanego z naczyniem, w którym znajduje się ciecz, a zatem wykonującego taki sam ruch jak to naczynie, ciecz znajduje się w spoczynku. Względem zaś każdego układu zewnętrznego ciecz ta jest w ruchu. Przykłady równowagi względnej cieczy: • ciecz w naczyniu poruszającym się ze stałą prędkością lub ze stałym przyspieszeniem, • ciecz w naczyniu wirującym ze stałą prędkością kątową wokół osi pionowej (stałe przyspieszenie odśrodkowe).

Podstawowe równanie różniczkowe hydrostatyki – Eulera

Równanie Eulera wyraża zależność między ciśnieniem a siłami masowymi działającymi na ciec pozostającą w stanie względnego spoczynku i ma postać:

dp= ρ (a_x dx + a_y dy + a_z dz)

gdzie: ax,ay,az – składowe, w poszczególnych kierunkach osi współrzędnych, jednostkowe wypadkowej sił masowych działających na ciecz (siła jednostkowa to sił przypadająca na jednostkę masy),
p – ciśnienie, ρ – gęstość cieczy.

Siły masowe w rozpatrywanym przypadku: G’ =G/m = g - siła ciężkości I’ =I/m = ω^2 ∙ r - siła odśrodkowa

Ostatecznie po uwzględnieniu warunków brzegowych ( r=0,z=z_0): C = -g∙z_0

z(r)=(ω^2 r^2)/2g+z_0

Należy określić wielkość z0 ( odległość wierzchołka paraboloidy obrotowej od dna naczynia). Objętość cieczy w spoczynku (przed uruchomieniem wirówki): V_0 = π R^2 ∙ h Objętość cieczy w ruchu obrotowym ( po uruchomieniu wirówki) V_0 = π R^2 ∙ z_0 + π R^2∙H/2 Po porównaniu tych dwóch wielkości mamy: 〖z 〗_0= h – H/2

Równanie powierzchni wody dla r = R i z = H + z0 (przecięcie ze ścianą naczynia) H + z_0= (ω^2 R^2 )/2g + z_0 -> H = (ω^2 R^2 )/2g

z_0 = h - (ω^2 R^2)/4g

  Teoretyczny kształt zwierciadła

        z = h +  ω^2/2g  (r^2-R^2/2)

z, r – współrzędne punktów należących do zwierciadła cieczy, h- pierwotna głębokość wody [m],
R- promień podstawy naczynia [m], ω- prędkość kątowa ruchu naczynia [rad/s]

Cel i przebieg doświadczenia:

Celem ćwiczenia jest porównanie pomierzonego kształtu swobodnej powierzchni cieczy w naczyniu wirującym z kształtem otrzymanym w wyniku pomiarów. W tym celu wykorzystamy narzędzie zwane wirówka wypełniona zabarwioną cieczą.

R – promień podstawy naczynia, z,r – współrzędne punktów należących do zwierciadła cieczy ω – prędkość kątowa H – wysokość wzniesienia zwierciadła ponad wierzchołek h – pierwotna głębokość wody, x_0,z_0 – rzędne wodowskazu, y,r,z – kierunki przyjętego układu odniesienia

Przed uruchomieniem wirówki dokonujemy pomiarów średnicy naczynia, oraz współrzędnej ścianki naczynia, rzędnej dna naczynia i rzędnej zwierciadła wody w naczyniu. Po uruchomieniu wirówki mierzymy czas trwania 50 obrotów. Po zatrzymaniu wirówki dokonujemy pomiarów współrzędnych punktów powierzchni. Określamy teoretycznie i w drodze pomiarów kształt krzywej, uzyskanej z przecięcia powierzchni zwierciadła wody pionową płaszczyzna przechodzącą przez oś z.

Pomiary i obliczenia

Pomiar geometrii

Średnica 2R [cm] “Zero” wodowskazu w kierunku x"0" [cm] “Zero” wodowskazu w kierunku z"0" [cm] Rzędna zwierciadła w spoczynku zh [cm]

29.00 0.00 1.89 11.05

Pomiar prędkości obrotowej:

Nr pkt. czas t [s] czas t średni[s] ilość obrotów n Prędkość obrotowa ω [obr/s] ω [rad/s] 1 26.07 25.99 50 1.92 12.08 25.83 25.87 26.19 2 26.2 25.31 50 1.98 12.40 24.98 25.22 24.85 3 26.17 25.83 50 1.94 12.16 25.81 25.62 25.72 4 25.68 25.37 50 1.97 12.38 24.46 25.52 25.81 5 25.37 25.65 50 1.95 12.24 25.97 25.44 25.83 ω śr 1.95 12.25

Pomiar kształtu zwierciadła

lp. xi [cm]=x’i - x"0" zp zip [cm] = (xp)‘i - z"0" 1 0 2.62 0.72 2 1 2.65 0.75 3 2 2.87 0.97 4 3 3.35 1.45 5 4 3.84 1.94 6 5 4.50 2.60 7 6 5.30 3.40 8 7 6.17 4.27 9 8 7.31 5.41 10 9 8.75 6.85 11 10 10.20 8.30 12 11 11.82 9.92 13 12 13.67 11.77 14 13 15.73 13.83 15 14 17.31 15.41 16 14.5 17.91 16.01 gdzie ‘i’ = wartości teoretyczne; ‘p’ = wartości pomiarowe Lp. xi [cm]=x’i - x"0" zit [cm] 1 0 1.13 2 1 1.28 3 2 1.59 4 3 2.05 5 4 2.66 6 5 3.42 7 6 4.34 8 7 5.41 9 8 6.64 10 9 8.01 11 10 9.54 12 11 11.22 13 12 13.06 14 13 15.05 15 14 16.10 16 14.5 17.19 Teoretyczny kształt zwierciadła

        z = h +  ω^2/2g  (r^2-R^2/2)

Dane: h = zh-z”0” = 11,05-1,90 = 9,15 [cm] ω śr=12,25[rad/s] g=981[cm/s] R=14,5[cm]

Porównania krzywej teoretycznej  doświadczalnej

	Rzędna zwierciadła	

Lp. ri [cm] pomiar Zip teoria ZiT błąd ε [%] 1 0 0.72 1.13 35.1 2 1 0.75 1.28 36.77 3 2 0.97 1.59 31.47 4 3 1.45 2.05 19.35 5 4 1.94 2.66 16.86 6 5 2.60 3.42 13.96 7 6 3.40 4.34 11.99 8 7 4.27 5.41 12.09 9 8 5.41 6.64 9.90 10 9 6.85 8.01 6.23 11 10 8.30 9.54 5.23 12 11 9.92 11.22 4.29 13 12 11.77 13.06 2.91 14 13 13.83 15.05 1.46 15 14 15.41 16.10 4.29 16 14.5 16.01 17.19 6.87

Wnioski

Po wykonaniu pomiarów i umieszczeniu ich wyników na wykresie, zauważamy iż krzywe (teoretyczna i praktyczna) mają zbliżony do siebie kształt. W tabeli błędów pomiarowych widzimy, że równice pomiędzy poszczególnymi wartościami są rożne. Błędy sięgają rzędu 1- 36%. Gęstość punktów pomiarowych nie była zbyt wystarczająca, mimo to otrzymaliśmy zbliżone kształty krzywych. Dla większej ilości punktów pomiarowych otrzymalibyśmy dokładniejsze wyniki. Błędy pomiarowe spowodowane są głównie: zaburzeniem pracy urządzenia, refleksem osób mierzących czasy obrotu stoperem oraz błędnymi odczytami wartości z przyrządów mierniczych (linijka, suwmiarka). Ze stosunkowo dużych wartości błędów pomiarowych wynika niepoprawność wykonanego doświadczenia.