Archimedes, ur. Ok. 287 p.n.e., zm. Ok. 212 p.n.e., grecki matematyk, fizyk i wynalazca, jeden z najwybitniejszych uczonych starożytności. Zajmował się różnymi dziedzinami nauki, przede wszystkim mechaniką i matematyką oraz hydrostatyką, astronomią, optyką.

Urodził się w bogatym, handlowym mieście Syrakuzach na Sycylii. Ojcem jego był astronom Fidiasz u którego pobierał początkowe nauki i który od dzieciństwa wpajał synowi zamiłowanie do matematyki, mechaniki i astronomii. W bliżej nieokreślonym czasie Archimedes udał się do Egiptu i studiował w Aleksandrii. Był to wówczas główny ośrodek greckiej kultury i nauki. Pracował w sławnej tamtejszej bibliotece. Nawiązał tam kontakt z uczniami Euklidesa z którymi później korespondował, do końca życia. Pisał do astronoma Konona, a po jego śmierci do Dositeosa i Eratostenesa. Listy te przypominają nowoczesne rozprawy naukowe. Każdy list zwykle poświęcony jest jednemu tematowi i podaje tylko nowe rezultaty. Niekiedy Archimedes podawał swoje twierdzenia bez dowodu, pozostawiając matematykom zadowolenie z ich uzasadnienia. Ponieważ niektórzy uczeni aleksandryjscy nazbyt chętnie przywłaszczali sobie wyniki Archimedesa, czasem podsuwał im celowo twierdzenia fałszywe, po to „by tych, którzy twierdzą, że wszystko odkryli i nie podają żadnych dowodów tego, co odkryli, można było na tym przyłapać i zmusić do przyznania, że odkryli rzecz niemożliwą”.

W czasie pobytu w Aleksandrii skonstruował : urządzenie p.n. śruby Archimedesa , śruba bez końca, które służyło do czerpania wody i do nawadniania pól w Egipcie. Rzymianie chętnie odwadniali kopalnie „śrubą Archimedesa” i nazywali ją cochlea (wąż wodny). Do dzisiaj można ją spotkać w całej północnej Afryce.

Skonstruował również przenośnik ślimakowy służący do wyładowywania materiałów sypkich i płynnych ( obecnie np. do wyładowywania zboża z dna silosu lub maszynka do mięsa.), organy wodne, zegar wodny ( najstarszy zachowany zegar wodny pochodzi z Egiptu z ok. 1400 r.p.n.e.; najdawniejszą postacią zegara wodnego był dzban z otworem w dnie; wypłynięcie z dzbana odmierzonej ilości wody oznaczało, ze upłynął określony czas; zegary wodne działające na tej zasadzie tzw. klepsydry szeroko stosowano w starożytności, np. w Grecji używano ich do ograniczania czasu przemówień podczas procesów; jednak w prostej postaci był niedoskonały m.in. z uwagi na zmienną prędkość wyciekania wody, a zakres jego stosowania był ograniczony oraz machiny obronne
Od samego początku jego działalności naukowej mechanika interesowała go najbardziej. Był jedynym starożytnym Grekiem, który przyczynił się istotnie w bezpośredni sposób do rozwoju tej dziedziny nauki. Uważa się obecnie, że jego szczególne zasługi dla nauki polegają na wykorzystaniu doświadczeń i wynalazków do sprawdzenia słuszności teorii oraz na przekonaniu, że u podłoża zjawisk fizycznych leżą podstawowe zasady, które można wyrazić w postaci matematycznej. Archimedes nie uważał metod mechaniki za ścisłe, traktował je jako wygodny sposób otrzymywania niektórych faktów geometrycznych, które to stwierdzenia wymagały następnie ścisłego dowodu geometrycznego. I na odwrót najbardziej precyzyjne metody swego czasu stosował do badania problemów mechaniki. Archimedes był niewątpliwie naukowcem w pełnym tego słowa znaczeniu. Nikt nie wyraził tego lepiej niż Plutarch, który ocenił, ze Archimedes ma „wzniosły umysł, głęboką duszę i bogactwo naukowych pomysłów”

ASTRONOMIA. Cenne są prace Archimedesa z dziedziny astronomii.. Zbudował planetarium (mechaniczny model demonstrujący ruch planet, Słońca i Księżyca wokół nieruchomej Ziemi) z hydraulicznym napędem (napędzane wodą), w którym można było obserwować fazy Księżyca, ruch planet , zaćmienie Słońca i Księżyca. Ten model układu słonecznego miał działać dzięki zazębianiu się licznych kół zębatych. Dokładne wykonanie takich kół zębatych jest niemożliwe. Bowiem jeżeli chcesz, żeby dwa koła obracały się tak, aby czas ich obrotu był proporcjonalny do czasu obrotu dwóch planet wokół Słońca muszą one mieć liczbę zębów odpowiadającą temu stosunkowi; zbyt wielkie są w tych stosunkach zarówno liczniki, jak i mianowniki. Opisał mechanizm ruchu Słońca, Księżyca i pięciu planet wokół nieruchomej Ziemi. Oceniając wielkość ciał niebieskich, prawdopodobnie wynalazł przyrząd do pomiaru średnicy Słońca. Po zdobyciu Syrakuz i po śmierci Archimedesa wódz Rzymian Marcellus zabrał planetarium jako jedyny łup. Przewieziono go do Rzymu, gdzie widział je i opisał Cyceron.

OPTYKA. Archimedes zajmował się optyką geometryczną. Wiedział, że kąt padania jest równy kątowi odbicia. Zajmował się odbiciem przedmiotów w zwierciadłach płaskich, wypukłych i wklęsłych, zwierciadłami palącymi oraz przyczyną powstawania tęczy. Niektórzy historycy twierdzą, że Syrakuzy broniły się tak długo przed Rzymianami, ponieważ Archimedes spalił flotę nieprzyjacielską za pomocą zwierciadeł skupiających promienie słoneczne. Zwierciadłami tymi były wypolerowane tarcze metalowe.

MATEMATYKA

SPOSÓB ZAPISYWANIA LICZB. O LICZBIE PIASKU. Za czasów Archimedesa Grecy stosowali dwa sposoby zapisywania liczb: joński i ateński. Archimedes prawdopodobnie posługiwał się cyframi jońskimi. Sposobem jońskim (alfabetycznym) liczby oznaczone są literami alfabetu. Grecy używali w tym celu 24 liter swego klasycznego alfabetu i dołączyli jeszcze do tego litery digamma(6), san(90) i goppa(900) pochodzące z alfabetu fenickiego i przez Greków dawno już wtedy nie używane. Te 27 liter podzielili na trzy klasy.

Liczby budowano addytywnie tzn. na zasadzie dodawania, np. – 11

Aby odróżnić je od słów nad liczbami stawiano kreskę. Żeby przedstawić liczby od 1000 do 9000 posługiwano się dziewięcioma pierwszymi literami (wyrażającymi liczby od 1do 9) i stawiano przy nich z lewej strony u góry akcenty: ’A – 1000 ’B – 2000 ’E – 5000 ’Z – 6000 ’H – 8000
Żeby przedstawić ułamki Grecy pisali : ”β = 1/2 ”γ = 1/3 (ułamki o mianowniku 1 – akcent mianownik) ιβ’ κγ ”κγ ” = 12/23 ( licznik z jednym akcentem i dwa razy mianownik z dwoma akcentami).

W systemie ateńskim Ateńczycy do pisania liczb używali początkowych liter słów – liczebników: Γ – oznaczało 5, bo gente po ateńsku znaczy 5, Δ – oznaczało 10, bo deka po grecku znaczy 10, H – oznaczało 100, bo hekaton po grecku znaczy 100,, X – oznaczało 1000, bo jest to początkowa litera słowa chilioi – 1000 M – oznaczało 10000, bo myrias znaczy po grecku 10000. I, II, III, IIII – oznaczało 1, 2, 3, 4.
Liczby budowano addytywnie.

W obydwu systemach (nie znano zera) największą liczbą, która miała swoją nazwę było 10000. Ta liczba nazywała się „miria”. Następnie zaś liczyli na miriady, a więc: dziesięć miriad, sto miriad, tysiąc miriad, miriada miriad, dziesięć miriad miriad itp. Używano również terminu „miriada” na określenie jakichś olbrzymich nie dających się zliczyć ilości. Archimedes skonstruował system liczenia, który po pierwsze jasno wykazał, że liczb jest nieskończenie wiele, a po wtóre – umożliwił nazwanie każdej dowolnie wielkiej liczby. Udowodnił, że można nazwać liczby, które są znacznie większe od liczby ziarnek piasku na Ziemi. Nie dosyć tego – gdyby cały dostępny nam wszechświat aż do najodleglejszych gwiazd, jakie tylko można dosięgnąć okiem, był nabity najdrobniejszym pyłem, to również dla tej liczby pyłków znalazłaby się liczba i można by wymienić jeszcze znacznie większe. Archimedes przedstawił oryginalną metodę zapisywania bardzo wielkich liczb, rozszerzając system liczbowy Greków (wprowadził notację wykładniczą). Wprowadził postęp geometryczny o ilorazie równym 10. Nie mogąc użyć ani nieznanego wówczas zera, ani wykładników potęg, rozpatrywał grupy liczb ustawionych po osiem w rzędzie : 10, 10² , 10³ , 104 , 105 , 106 , 107 , 108 , 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 …………………………………………………………….. Każdą grupę takich ośmiu liczb w tym szeregu nieskończonym nazwał oktadą W traktacie arytmetycznym „O liczbie piasku” obliczył liczbę ziaren piasku w skończonym, jak to sobie wyobrażali starożytni, wszechświecie szacując ją na (108)100000000 . Problem postawiony i rozstrzygnięty został w formie apostrofy wielkiego mędrca do władcy Syrakuz.

…„Wielu ludzi mniema, o królu, że liczba ziarn piasku jest nieskończona – nie tego tylko piaskowego pyłu, który leży dokoła Syrakuz albo na całej Sycylii, ale tego, który znajduje się we wszystkich krajach zamieszkałych i niezamieszkałych. Inni nie uważają liczby tej za nieskończoną, ale sądzą, że nie ma takiej wartości liczbowej i nie ma takiego wyrażenia słownego, którym można byłoby określić niezmierny zespół tych pyłków. Ludzie o podobnych poglądach, gdyby potrafili wyobrazić sobie olbrzymi zwał piasku, zdolny wypełnić wszystkie morza i przepaści i pokryć ziemię całą do najwyższych szczytów gór, twierdziliby tym uporczywiej, że nie ma liczby, którą można by określić ilość pyłków w tym zwale. Ale ja pokuszę się udowodnić ci, że rzecz się ma przeciwnie, że niektóre liczby wspomniane w mych księgach mogą oznaczać nie tylko ilość ziarn piasku, który by pokrył Ziemię całą, ale takiej masy jego, jakiej potrzeba by było do wypełnienia wszechświata.”.. Przez „wszechświat ” rozumiał Archimedes cały znany wówczas system słoneczny ( 5 planet aż po orbitę Saturna, Słońce, Księżyc krążących wokół Ziemi). Archimedes w wyliczeniu swym rozmiary ziarnka piasku porównywał do rozmiarów ziarnka maku. Przypuszczał możność pomieszczenia 10 000 ziarnek piasku w jednym ziarnie maku. Tak oto zestawił dwie sfery : wszechświat i ziarnko maku. Dowodził przede wszystkim, że objętości dwóch kul mają się do siebie jak sześciany ich średnic, obliczył ten stosunek dla wszechświata i ziarnka maku i pomnożył przez 10 000. Doszedł do wniosku, że poszukiwana przezeń liczba ziarn piasku we wszechświecie nie przewyższa oktady oktad, czyli – według nowego sposobu oznaczania liczb – mniejsza jest od liczby 10 Gdyby Archimedes zechciał wyliczoną przez się liczbę nazwać według starej nomenklatury, byłaby to pewnie jakaś miriada powtórzona … wiele miriad razy. .

RYSUNKI NA PIASKU. …” Gdziekolwiek się znajdzie (…) zaczyna rysować jakieś koła, trójkąty, linie”…

KOŁO.

ARBELON. Tę figurę zakreskowaną nazwał Archimedes arbelon. Dowiódł, że jej pole równa się polu koła o średnicy BD, to znaczy odcinkow i prostopadłemu do średnicy AC od punktu D do jego przecięcia z półokręgiem ABC. S = п/4 DB²

SALINON. Figurę tego rodzaju, jak zakreskowana na tym rysunku, nazwał Archimedes salinon i znalazł miarę jej pola. S = п/4 FG²

KWADRATURA KOŁA. Jest to zadanie polegające na skonstruowaniu za pomocą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danego koła. Archimedes wykonał kwadraturę koła ale nie cyrklem i linijką. Udowodnił, opierając się na metodzie wyczerpywania Euklidesa, że pole koła równa się polu trójkąta , którego podstawa ma długość obwodu koła a wysokością jest promień. Zamienić zaś trójkąt na kwadrat o takim samym polu jest konstrukcją wykonalną.

LICZBA PI. Jednym z największych osiągnięć Archimedesa było obliczenie obwodu koła i jego stosunku do średnicy czyli liczby п oraz pola koła. Przed Archimedesem czynione były próby zmierzające do zastąpienia koła przez wielokąt wpisany lub opisany. Archimedes wiedział o tych próbach . Kiedy wreszcie sam zaczął powtarzać z większą dokładnością wszystkie te przybliżone rozwiązania, zwrócił uwagę na prostą rzecz : jak ustalić na jakim wielokącie można się zatrzymać ? Kiedy uczony zaczął brać różne wielokąty, zrozumiał, dlaczego istnieje tak wiele przybliżonych rozwiązań tego zadania i dlaczego wszystkie się od siebie różnią – bo istnieje nieskończona ilość najprzeróżniejszych wielokątów . Archimedes stwierdził, że zadanie musi mieć wiele rozwiązań, że w tym przypadku można tylko określić granice, w których zawarte jest rozwiązanie. Czyli rozwiązanie powinno być nie większe od pewnej liczby i nie mniejsze od innej. Podczas obliczania długości okręgu Archimedes posługiwał się kolejno wielokatami począwszy od trójkata, poprzez sześciokąt, dwunastokąt, dwudziestoczworokąt, czterdziestoośmiokąt i skończywszy na dziewięćdziesięciosześciokącie. Boki 96-kąta czyli bardzo małe odcineczki prostej równe 0,8 promienia okręgu opisanego. Posługując się wspomnianymi wielokątami, określił on początkowo górną granicę długości okręgu, a następnie, za pomocą wielokątów wpisanych , określił dolną granicę. Najtrudniejszą część zadania stanowiły nie kończące się obliczenia pierwiastków, które Archimedes musiał przeprowadzić. Obliczenia żmudne i obszerne, na które w starożytności przed Archimedesem nikt się nie odważył.

Archimedes obliczył, że п mieści się w między 223/71 a 22/7. Ponieważ pierwsza liczba była prostsza to ją zaczęto powszechnie stosować jako przybliżenie liczby п i nazywać liczbą Archimedesa. Przez podobne przybliżenia doszedł Archimedes do wyznaczenia pola koła. Swoje wyliczenia zawarł Archimedes w traktacie „O mierzeniu okręgu”

TRYSEKCJA KĄTA.

Grecy do konstrukcji używali cyrkla i linijki. Linijka miała pewne wzmocnienie - można było na niej zaznaczyć dwa karby, dwie ryski. Archimedes dokonał ciekawej i dowcipnej konstrukcji trysekcji kąta, którą opisał w dziele „Lematy”.

PARABOLA.

Parabola to jest krzywa po której leci kamień, kula armatnia, strzała z łuku, woda gdy bije z fontanny.Parabola jest krzywą, którą można otrzymać przecinając stożek płaszczyzną równoległą do tworzącej. Archimedes, stosując metodę wyczerpywania Euklidesa, zasadę dźwigni i twierdzenia o środkach ciężkości, jako pierwszy podał dokładne i całkowite rozwiązanie zadania na ustalenie powierzchni ograniczonej jakąś linią krzywą. Tą linią krzywą była parabola. Czyli Archimedes obliczył pole odcinka paraboli. Udowodnił, że pole odcinka paraboli jest równe 4/3 pola trójkąta utworzonego przez wyznaczającą ten odcinek cięciwę i punkt przebicia paraboli przez środek tej cięciwy i równoległą do osi symetrii paraboli. Tak więc Archimedes określa powierzchnię jej segmentu. W segment paraboli wpisuje się największy trójkąt, którego podstawę stanowi prosta odcinająca segmenty. Oba pozostałe boki trójkąta odcinają jeszcze dwa segmenty paraboli, do których znowu wpisuje się trójkąty – tym razem dwa – i znowu największe. Cztery pozostałe boki tych trójkątów odcinają cztery segmenty paraboli, do których znowu wpisuje się trójkąty. Tym razem już cztery. I tak dalej. Liczba tych trójkątów wzrasta według potęg dwójki. Trójkąty wciąż się zmniejszają, więc ich powierzchnie też się zmniejszają. Jeżeli przyjmiemy, że powierzchnia pierwszego z nich, największego, jest równa jedności, to powierzchnia dwóch następnych będzie równa jednej czwartej części tego pierwszego. To będzie wyglądało tak: 1, ¼, 1/16, 1/64,….. Suma takiego szeregu zbliża się coraz bardziej do wartości 4/3. Rozwiązanie tego zadania zawarł w dziele „ O kwadraturze paraboli”.

SPIRALA ARCHIMEDESA. Archimedes napisał pracę „O liniach spiralnych”. W pracy tej opisał krzywą, zwaną obecnie „spiralą Archimedesa”. Figurę tę odkrył wcześniej Konon z Samos, ale Archimedes podał definicję krzywej i dowód niektórych jej własności. Spirala Archimedesa dana jest równaniem r = c ∙ φ, gdzie c jest stałą dodatnią a φ ε [0, ∞ ).

Wyobraź sobie, że półprosta OA obraca się ruchem jednostajnym w kierunku oznaczonym strzałką . W momencie rozpoczęcia obrotu, z punktu O rozpoczyna wędrówkę po półprostej OA ruchomy punkt. Jeśli ten ruchomy punkt będzie się poruszał ruchem jednostajnym, to zakreśli on krzywą, która jest właśnie spiralą Archimedes

Każda półprosta wychodząca z bieguna przecina spiralę Archimedesa w punktach p, p ,…, p ,…, które, spełniają warunek p p = 2 π c, dla i = 1,2,…,

Archimedes, wykorzystując metodą wyczerpywania Euklidesa obliczył pole ograniczone spiralą i półprostą ją wyznaczającą. Pole ograniczone spiralą to 4/3 π³ a².

KULA.

Archimedes obliczył pole powierzchni i objętość kuli. P = 4 Π r²
V = 4/3 п r³

KULA, WALEC I STOŻEK. Największą wagę przywiązywał Archimedes do swego traktatu „O kuli i walcu”. W traktacie „O kuli i walcu” Archimedes udowodnił, między innymi, że objętości stożka, kuli i walca o wspólnej osi obrotu – stożka wpisanego w walec, kuli wpisanej w walec – mają się do siebie jak: Vstożka : Vkuli : Vwalca = 1 : 2 : 3. Vstożka = 2/3 п r³
Vkuli = 4/3 п r³ Vwalca = 2 п r³

Ponadto pole powierzchni kuli okazuje się być równe powierzchni bocznej opisanego na niej walca, nie tylko w całości, ale nawet w dowolnej warstwie prostopadłej do osi tego walca. I tu znów potrzebne jest przejście do granicy..Objętość zaś kuli to objętość tegoż walca z wydrążonymi w nim dwoma stożkami, co też pasuje do dolnej warstwy – aby uzasadnić poprawność tego wzoru trzeba skorzystać z zasady Cavalieriego, czyli w istocie z całkowania. Stosownie do życzenia Archimedesa, rzeźba na jego grobie wyobrażała kulę z opisanym na niej walcem i zaznaczonym stosunkiem objętości tych brył. Te dwie bryły miały przypominać potomnym o najważniejszym dziele Archimedesa. Grób ten, opuszczony i zaniedbany, podług tego znaku odnalazł Cyceron w 75 roku naszej ery. Obecnie już nie udało się go odnaleźć.

BRYŁY ARCHIMEDESOWE Bryły archimedesowe zostały opisane przez Archimedesa, jadnakże jego prace zaginęły. Wszystkie one sa wielościanami jednorodnymi o foremnych ścianach. Wielościan o foremnych ścianach nazywamy jednorodnym, jeżeli istnieje przekształcenie symetryczne przeprowadzające wybrany wierzchołek przez wszystkie pozostałe wierzchołki i przez żaden inny punkt przestrzeni. Na przykład, takim przekształceniem dla sześcianu jest obrót wokół osi o kąt 90 stopni i symetria względem płaszczyzny prostopadłej do tej osi. Wspólną cechą wszystkich brył archimedesowych jest to, że układ ścian wokół każdego wierzchołka jest identyczny. Tą samą własność posiada także wydłużona dwukopuła kwadratowa przekręcona (bryła Johnsona), która jednak nie jest bryłą archimedesową. Bryły archimedesowe – pewne wielościany półforemne -to wielościany powstałe z wielościanów foremnych (brył platońskich) przez odpowiednie ścinanie naroży.

ZABAWKA ARCHIMEDESA.

Jest to układanka - kwadrat podzielony na 7 kawałków liniami prostymi. Pisał o niej Archimedes w dziele „Stomachion’. Okazuje że nawet Archimedes się nią bawił. Prawdopodobnie tę zabawkę wymyślono na długo przed Archimedesem. Można w nią grać tak żeby ułożyć figury przedstawiające zwierzęta, ludzkie postacie bądź inne rozpoznawalne obiekty, jak np.

Pewna księga arabska przytacza jako pomysł Archimedesa rozcięcie tego kwadratu w zupełnie inny sposób - na 14 części, z których każda wyraża się ułamkiem o wspólnym mianowniku 48. ( Loculus Archimedesa ). Na rysunku podane są liczniki tych ułamków.

STATYKA . „DAJCIE MI PUNKT OPARCIA, A PORUSZĘ ZIEMIĘ”

Na polecenie króla Hierona II została zbudowana wspaniała łódź. Był to trzymasztowiec, dwudziestorzędowiec „Syrakuzanka”, zbudowany w 260 r. p.n.e., o dł. 150 m, której konstruktorami byli Archiasz z Koryntu i Archimedes. Był to największy wówczas okręt starożytności. Miał znaczenie wyłącznie reprezentacyjne. W owych czasach najczęściej spotykanymi okrętami były bojowe trójrzędowce (grecka triera). Jednostki te miały po 40-45 m dł. i zabierały do 170 wioślarzy, 50 żołnierzy i 20 marynarzy. Używano oprócz nich także dwurzędowców (grecka diera) i większych 4-, 5-, 6-, 7- i nawet 8-rzędowców. Ale robotnicy nie mogli go spuścić na wodę. Archimedes - twórca wielokrążka zbudował skomplikowane urządzenie składające się z układu dźwigni i wielokrążka – był to obracający się kołowrót (urządzenie do podnoszenia lub opuszczania ładunku zawieszonego na linie lub łańcuchu przez przewijanie lub nawijanie go na obracający się bęben napędzany ręcznie) połączony ze statkiem skomplikowanym układem krążków linowych i przeprowadził samodzielnie wodowanie „Syrakuzji”. Tym samym Archimedes praktycznie udowodnił ustalone przez siebie prawo dźwigni. Z tym faktem związane jest słynne powiedzenie Archimedesa : „Dajcie mi punkt podparcia, a sam jeden poruszę z posad Ziemię”.

Dźwignią nazywamy drąg podparty w jakimś punkcie na swej długości. Jest to maszyna prosta , sztywny element umożliwiający wykonanie pracy siłą mniejszą od siły potrzebnej do wykonania tej pracy bez jej zastosowania. Najstarszą formą dźwigni były, znane już w epoce kamiennej żurawie używane do podnoszenia ciężarów, zachowane do dnia dzisiejszego w postaci żurawi studziennych. Współcześnie dźwignia stosowana jest jako element konstrukcyjny narzędzi (nożyce, obcęgi), maszyn (dźwignia zmiany biegów w samochodzie, dźwignia zaworów w silniku) Jeśli naciskamy na dźwignię w punkcie A z siłą P, to ramię BC podnosi się. Jeśli na końcu C umieścimy jakieś ciało, to można je w ten sposób podnieść do góry. Im dłuższe jest ramię AB, tym mniejszej siły trzeba użyć, by podnieść ciało. Archimedes wprowadził pojęcie siły i sformułował prawo dźwigni. Prawo dźwigni mówi, że równowaga zachodzi wtedy, gdy iloczyny długości ramion przez odpowiednie ciężary ( siły ) są sobie równe. Na przykład dźwignia po prawej stronie jest w równowadze, bo 6 4=2 12.

Wychodząc z realnych i najprostszych zaobserwowanych faktów Archimedes potrafił uogólnić materiał empiryczny dotyczący techniki i przy pomocy matematyki sprowadzić go do systemu naukowego – podstawy teorii równowagi są oparte na układzie aksjomatów (pewników), np.

1. Równe ciężary na równych długościach równoważą się, na nierównych długościach natomiast nie równoważą się, a przeważa ciężar na większej długości.
2. Jeżeli przy zrównoważonych ciężarach na jakichkolwiek długościach do jednego z ciężarów będzie cokolwiek dodane, to ciężary te nie będą zrównoważone, a przeważy ten, do którego dodano.. W dziele „O równowadze figur płaskich” Archimedes, posługując się teorią Eudoksosa - Euklidesa sformułował dowód tego prawa. Dzieło to położyło podwaliny pod statykę jako naukę. Statykę starożytni nazywali „sztuką ważenia” i stawiali na równi z arytmetyką „sztuką liczenia”. W starożytnej Grecji używano wag opartych na zasadzie dźwigni dwuramiennej. Starano się i dbano o to aby wagi były rzetelne i coraz dokładniejsze ze stałym bądź ruchomym punktem podparcia ze stałą lub ruchomą przeciwwagą. Zasadę dźwigni wykorzystujemy dziś praktycznie we wszystkich prawie maszynach o ruchomych częściach, w dźwigniach budowlanych i wielu innych urządzeniach. Wszelkiego rodzaju bloki i wielokrążki stanowią odmiany dźwigni.

MECHANIKA.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI. W traktatach „Księga punktów podparcia” oraz „O wagach”, o których treści można wnioskować jedynie na podstawie cytatów w późniejszych pracach Herona i Pappysa, a także z komentarzy Eutokiosa i Simplikiosa ( te traktaty z mechaniki zaginęły ) Archimedes wprowadził pojęcie środka ciężkości i określił ten punkt dla najprostszych figur geometrycznych. Pojęcie to pojawia się u Archimedesa w praktycznym badaniu rozkładu ciężaru belki między punktami podparcia. Pappus powtarza za Archimedesem: Środkiem ciężkości danego ciała nazywa się pewien położony w jego wnętrzu punkt, mający tę własność, że jeżeli w nim ( w myśli ) podeprzeć ciało ciężkie, to ono pozostanie w równowadze i zachowa pierwotne położenie. W traktacie „Efod” Archimedes podaje twierdzenie o tym gdzie leży środek ciężkości stożka, które dowodzi za pomocą metod mechaniki, wykorzystując zasadę dźwigni. W tych traktatach wprowadzone jest również pojęcie środka momentu. Z komentarza Eutokiosa mamy: Archimedes nazywa środkiem momentu figury płaskiej punkt, przy zawieszeniu w którym figura pozostanie nadal równoległa do horyzontu; środkiem momentu dwu lub więcej figur płaskich nazywa on punky podparcia dźwigni, pozostającej równoległą do horyzontu, jeżeli umocować do jej końców wskazane figury.

Dźwig – maszyna służąca do przenoszenia przedmiotów na małą odległość w poziomie lub w pionie. Do grupy dźwigów zalicza się mi.in. żurawie, znane i stosowane kilkadziesiąt lat p.n.e. Różniły się one od żurawi studziennych tym, że słup podtrzymujący dźwignię nie był nieruchomy, ale mógł się obracać, co umożliwiało nie tylko podnoszenie ciężaru, ale i jego przemieszczanie w poziomie wokół obracającego się słupa. Wynalezienie wielokrążka pozwoliło na wyposażenie żurawia w urządzenie ułatwiające podnoszenie ciężaru. Różne wymyślne dźwigi konstruował Archimedes z Syrakuz.

KATAPULTY. Machiny miotające. Zasadniczym elementem konstrukcyjnym katapult był potężny łuk, w późniejszych czasach sporządzany ze stali. Stosowano te katapulty przeciw celom żywym. Użycie kołowrotu do napinania cięciwy katapulty umożliwiło im osiąganie donośności do około 500m. Pod koniec IV w.p.n.e. pojawiły się katapulty wyrzucające wielkie pociski kamienne lub ceglane o ciężarze 30-80 kg i donośności do 200 m), przeznaczone do zwalczania dużych obiektów, jak okręty, wieże oblężnicze itp. W ciągu III w.p.n.e. pojawił się nowy typ katapult, w którym łuk zastąpiony został przez parę sztywnych ramion miotających. Duże machiny tego typu miotały ogromne kamienie albo ołowiane pociski o ciężarze 80 a nawet 100 kg na odległość około jednego kilometra. Działały na zasadzie naciągu sprężystych i mocnych lin, splecionych z włosia albo żył zwierzęcych. Energii dostarczały motki skręconych strun (czasami nawet włosów ludzkich). Kiedy zaczynała się wojna kobiety często składały w ofierze swoje włosy. Dowódca balisty, starożytny artylerzysta musiał w tych czasach znać się na muzyce i dobrze rozpoznawać dźwięki – potrzebne im to było do odpowiedniego strojenia motków, wg ich dźwięku. Ponieważ motki rozluźniały się, np. pod wpływem wilgoci, specjalne urządzenia służyły do ich naprężania. Na podstawie wysokości tonów wygrywanych przez naciągnięte cięciwy machiny ustalić, czy obie cięciwy są naciągnięte jednakowo. Cięciwy były tak potężne, że balisty nie można było naciągnąć siłą samych rąk – należało stosować dźwignie, kołowroty, a nawet wielokrążki.Te katapulty rozpowszechniły się w czasach rzymskich. Ich zasięg rażenia przewyższał donośność katapult łukowych. Balist nie można było ustawiać na skałach albo na twardym podłożu, ponieważ ich odrzut był tak silny, że mógł rozbić samą machinę. Ustawiano je na specjalnym podłożu z trawy lub żwiru. Rzymianie najczęściej stosowali tzw. onager, wyposażony w „łyżkę” na sztywnym ramieniu, wyrzucającą kamienny pocisk. Opracowano wtedy dokładne zasady konstruowania katapult, ściśle przestrzegając wzajemnych proporcji poszczególnych elementów, opartych o wyniki doświadczeń. Największe katapulty starożytności skonstruował Archimedes podczas obrony Syrakuz obleganych przez Rzymian (212 r.p.n.e.). Według tradycji miały one wyrzucać pociski o ciężarze 250 kg na odległość kilkuset metrów.

HYDROSTATYKA. EUREKA.

Jak głosi legenda, Hieron II (po obwołaniu go królem Syrakuz w 269 r. p.n.e.) zamówił dla siebie koronę z czystego złota. Król Syrakuz Hieron, znany mecenas nauki i sztuki z zainteresowaniem oglądał dostarczoną przez złotnika koronę. Była piękna, ciężka, misternie rzeźbiona. Złotnik otrzymał złoto na odlew korony ze skarbca królewskiego. Ciężar korony równał się ciężarowi wydanego złota, ale król Hieron był podejrzliwy.

• A może złotnik zabrał sobie część złota, a do korony dodał srebra lub miedzi ? A ja chciałem mieć koronę z czystego złota. Ale jak to sprawdzić ? Ciąć korony nie można, bo jest wykonana pięknie, każda próba użycia siły musiałaby zniszczyć dzieło sztuki. Czy nie ma sposobu żeby to sprawdzić ? Hieron poczuł budzący się gniew. Chodził coraz szybciej po

komnacie i coraz bardziej się denerwował. W końcu wezwał swego doradcę, Proklosa.

• Posłuchaj – powiedział do niego – muszę wiedzieć, czy ta korona jest z czystego złota czy z domieszkami innych metali! Ale nie wolno uszkodzić korony przy tym badaniu, gdyż jest piękna i drugiej takiej żaden złotnik nie zrobi! Stropił się Proklos i ręce załamał.
• Panie – odrzekł nieśmiało – widzi mi się, że nie ma metody… Tu urwał, bo zobaczył, że król poczerwieniał ze złości.
• Milcz, Proklosie! Czy chcesz przez to powiedzieć, że król może zostać oszukany przez złotnika i nie będzie miał sposobu, żeby to oszustwo udowodnić ? Proklos przestraszony wybiegł z komnaty naradzić się z dworzanami. Pod wieczór ktoś przypomniał sobie o Archimedesie.
• Mąż to uczony i matematyk wielki, więc z pewnością sposób wynajdzie. Nim słońce zaszło, stanął Archimedes przed obliczem królewskim, a wysłuchawszy wszystkiego zasępił się. Niestety i on nie widział możliwości wykrycia oszustwa bez uszkodzenia korony. Ale tego już było dość Hieronowi. Albo w przeciągu trzech dni zdołasz rozstrzygnąć, czy korona jest ze szczerego złota ( jeśli nie jest, to ukarany zostanie złotnik), lub też, o ile nie wymyślisz metody, wtrącę cię do ciemnicy na długi czas.
  Archimedes, który już w tym czasie miał wiele osiągnięć naukowych, wrócił do domu zmartwiony. W przeciągu dwóch dni nie wymyślił niczego. Trzeciego dnia rano, dla odświeżenia umysłu i dodania rześkości ciału, postanowił wziąć kąpiel. Udał się do łaźni. Rozebrał się i wszedł do kadzi z wodą.

Nagle z okrzykiem radości eureka, eureka - wyskoczył z kąpieli i mokry i nagi wybiegł na ulicę.

• Pamiętam, pamiętam. (…) Całe miasto miało wtedy uciechę. Ten szaleniec wyskoczył nagi z wanny i biegł przez ulicę, wrzeszcząc: Eureka, eureka ( Znalazłem! Znalazłem!). Wszyscy pękali ze śmiechu. Matki chowały dzieci przed szaleńcem, a on pędził i krzyczał.
• To prawda. Ale Archimedes zamknął się potem w domu, a wieczorem przyniósł królowi koronę i oznajmił, że złotnik przywłaszczył sobie połowę złota, zastępując je srebrem. Złotnik zresztą do tego się przyznał.
• Jak on to odgadł?
• Siedząc w wodzie, uczułem, że ciało jest jakby lżejsze, jakby mniej ważyło i noga przy małym wysiłku z łatwością unosi się do góry. Wystarczy tylko lekko odbić się rękami od dna i już całe ciało płynie ku górze. Jeśli zanurzymy jakieś ciało do naczynia z wodą, to woda ciśnie ze wszystkich stron na to ciało, ale nie jednakowo, bo im głębiej, tym ciśnienie wody jest większe. A więc na ściankę CD woda ciśnie mocniej niż na ściankę AB. Tak więc w sumie ciśnienie wody jest większe ku górze niż ku dołowi, a zatem ciało jest wypychane w górę, i dzięki temu wydaje się jakby mniej w wodzie ważyło. Ciało zanurzone w wodzie pozornie traci tyle na wadze, ile waży woda przez to ciało wyparta, to znaczy tyle ile waży woda o objętości równej danemu ciału. Wiemy, co to jest ciężar właściwy: otrzymujemy go, dzieląc ciężar całkowity tego ciała przez jego objętość. Aby obliczyć ciężar właściwy materiału, z którego wykonana jest korona, zważę tę koronę raz w powietrzu i raz w wodzie. Przypuśćmy, ze w powietrzu waży ona 600 jednostek, a w wodzie 400. Zatem woda wyparta przez to ciało waży 200 i taka sama jest objętość wody wypartej ( bo wiemy, że ciężar właściwy wody jest równy 1 ). Więc dzieląc ciężar korony 600 przez jej objętość 200, otrzymuję ciężar właściwy materiału z którego została wykonana. Porównam teraz wynik z ciężarem właściwym złota, który jest znany, i będę wiedział, czy złotnik sfałszował koronę, czy też nie. Korona ze złota musiała stracić na ciężarze mniej niż srebrnozłota, ponieważ miała mniejszą objętość. Wyparłaby więc mniej wody. Korona króla Hierona zaś traciła zbyt wiele, stawała się w wodzie lżejsza niż powinna. I ta właśnie różnica pozwoliła określić domieszkę srebra By sprawdzić, z jakiego kruszcu został wykonany diadem królewski, zanurzyłem go w wodzie i zmierzyłem ilość wypartej wody. Potem sprawdziłem ile wody wypiera sztaba złota o takiej samej wadze jak diadem. Gdy okazało się że sztaba wyparła mniej wody, było dla mnie jasnym, że diadem jest sfałszowany. Posłużyłem się „złotym kluczem” matematyki – równaniem. To za pomocą równania, królu wykryłem nadużycia przy wykonywaniu twojej korony. Zdumiał się król Hieron i nie mógł wyjść z podziwu. W nagrodę polecił wypłacić Archimedesowi dużo pieniędzy. Przypadkowa obserwacja podczas kąpieli pozwoliła Archimedesowi sformułować prawo Archimedesa, podstawowe prawo hydrostatyki. Prawo to zawarł w traktacie „O pływających ciałach”.

„WIELOKRĄŻEK. Wielokrążek – zespół krążków linowych (stałych i ruchomych), opasanych najczęściej liną, pozwalający na zwielokrotnienie siły. Podstawowym elementem konstrukcyjnym wielokrążka jest krążek linowy. Przy zastosowaniu wielokrążka siła potrzebna do podniesienia ciężaru może być dowolnie zmniejszona w zależności od liczby krążków i od konstrukcji wielokrążka.

Zbudowanie pierwszego wielokrążka przypisuje się Archimedesowi. Rzecz zaczyna się na krótko przed wybuchem wojny rzymsko-syrakuzańskiej. Na jednej z ulic miasta tłoczno jest i gwarno. Bogaci przemierzają ulicę w lektykach, które dźwigają czarni niewolnicy. Gdzieś z boku inna grupa niewolników rozbija młotami wielkie głazy, ładuje na wozy i odnosi na plac budowy, gdzie robotnicy wznoszą okazały gmach. Wszystko to odbywa się pod czujnym okiem okrutnych dozorców, uzbrojonych w długie baty. Jeden z niewolników, chłopiec prawie, Euksynos, uderzył w głaz tak niezręcznie, że młot rozleciał się na dwie części. Nie uszło to uwagi dozorcy, który zaczął go okładać batem. W tym momencie znalazł się w tłumie Kalias, syn bogatego obywatela Syrakuz.

• Nie bij tego chłopca – zawołał – nie wolno znęcać się nad człowiekiem! Ale dozorca nie dał się zastraszyć, ponieważ wiedział, że Euksynos nie należał do ojca młodego Kaliasa, lecz do innego bogacza, okrutnego dla swych niewolników, Arystozanesa.
• Tylko mój pan - -odparł dozorca – może wstrzymać wykonanie kary.
• Udam się do twego pana. Kalias udał się do Arystozanesa. Spotkał go na jednej z ulic. Podbiegł do jego lektyki i wytłumaczył sprawę.
• Młodzieńcze – odparł Arystozanes – Niewolnik mój należy do mnie i musi za zniszczone narzędzie ponieść karę. Chyba, że załaduje kamień na wóz w całości. Zresztą, Kaliasie, możesz mu w tym pomóc.
• Tego głazu nie podniesie nawet pięciu ludzi! – zawołał Kalias.
• Ja też tak uważam. Ale tylko pod tym warunkiem daruję karę niewolnikowi. Mało tego. Gdy uda się wam załadować głaz, niewolnika daruje tobie. Jestem jak widzisz wspaniałomyślny. Kalias milczał, tłumiąc złość. Raptem jednak odparł:
• Powiedziałeś Arystozanesie, że głazu tego nie uniesie nawet pięciu ludzi silnych. Czy pozwolisz więc wezwać na pomoc jednego człowieka?
• Zezwalam. Ale robota musi być ukończona do wieczora. Powiedziawszy to, bogacz polecił niewolnikom, by ponieśli go dalej. Kalias zaś udał się w kierunku murów, które umacniano, ponieważ panowało przekonanie, iż wkrótce pod miastem zjawią się rzymskie legiony. Wśród budowniczych kierujących robotami znajdował się stary, skromnie odziany człowiek. Kalias znał go doskonale. Był to bowiem przyjaciel nieżyjącego króla, wielki uczony Archimedes. Kalias opowiedział wszystko uczonemu. Archimedes udał się do kamieniołomu, obejrzał głaz, rozejrzał się uważnie wokoło, zmierzył krokami odległość między skałą i najbliższym drzewem, po czym wyjął tabliczkę i zaczął coś na niej pisać.
• Weź tę tabliczkę, młodzieńcze, idź do mego domu, oddaj ją memu dozorcy i przywieź wszystko, co ci wyda. Tylko się spiesz, gdyż czasu mamy mało. Ja na ciebie tu poczekam. Gdy Kalias spieszył co sił w nogach Archimedes przysiadł na przydrożnym kamieniu i coś zaczął rysować i pisać na piasku. Otoczyła go grupa gapiów. Na placu zjawił się Kalias z owym niewolnikiem. Wieźli na wózku jakieś belki, koła i liny. Po chwili między drzewem a wystającym występem skalnym przerzucono belkę, następnie jakieś liny i kółka. Jedne z nich, najniższe, zaopatrzone w hak, przyczepiono do plątaniny lin opasujących kamień. Z kółka najwyższego zwisała lina. Wszystkie te prace wykonano szybko na polecenie Archimedesa. Gdy te przygotowania ukończono, na placu zjawiła się ponownie lektyka z Arystozanesem. Archimedes zastosował wielokrążek. Wystarczyło tylko pociągnąć za zwisającą linkę, by kamień uniósł się na dowolną wysokość.

OBRONA SYRAKUZ. Geniusz Archimedesa jako inżyniera i wynalazcy ujawnił się szczególnie w czasie oblężenia Syrakuz przez Rzymian. W III wieku Syrakuzy były sprzymierzone z Rzymem. Jednakże po śmierci króla Hierona II (w 215 r.p.n.e.) władzę w mieście przejęła partia wrogo nastawiona do Rzymu, który wiódł w tym czasie wojnę z Kartaginą. Nowi władcy Syrakuz zawarli sojusz z Kartaginą i licząc na jej pomoc wypowiedzieli wojnę Rzymowi. Ale szczęście długo Syrakuzanom nie sprzyjało. Wódz rzymski Marcellus obległ Syrakuzy i w krótkim czasie zdobył szturmem część miasta. Kartagińczycy próbowali przyjść z odsieczą Syrakuzanom, lecz w armii ich wybuchła zaraza. Pozostała część broniła się dzielnie dzięki fortyfikacjom i machinom wojennym zbudowanym przez Archimedesa. Różnego rodzaju dźwignie, wyrzutnie i katapulty, które miotały na oddziały napastnika olbrzymie głazy i wylewały gotującą wodę, potężne dmuchawy, które wyrzucały prosto w oczy kłęby piachu. Zawieszone na specjalnych wysięgnikach olbrzymie haki chwytały okręty za dzioby, podnosiły je do góry, a następnie rzucały w morze tak, że te przewracały się i tonęły.

Według opowiadania Plutarcha, rzymscy żołnierze byli tak wystraszeni, że „kiedy tylko zauważyli na murze gałązkę czy kawałek drzewa, podnosili rozpaczliwy krzyk i rzucali się do ucieczki, całkowicie przekonani, ze Archimedes wycelował w nich jakąś maszynę”. Rzymianie musieli porzucić myśl zdobycia miasta szturmem i rozpoczęli jego oblężenie. Znany historyk starożytności Polibiusz pisał: ”Taka była cudowna siła jednego człowieka, jednego talentu, umiejetnie skierowanego na każdą sprawę… Rzymianie byliby mogli szybko opanować miasto, gdyby w jakiś sposób udało im się usunąć spośród Syrakuzan jednego starca”. Oblężenie Syrakuz trwało dwa lata. I w ciągu tych dwu lat, dzięki geniuszowi Archimedesa, udawało się skutecznie odpierać ataki wroga. W drugim roku oblężenia, jesienią 212 r.p.n.e. kiedy w Syrakuzach liczono na pomoc Kartaginy, Rzymianie zdobyli miasto wskutek zdrady. Marcellus rozkazał aby odnaleźć, pojmać żywcem i przyprowadzić Archimedesa. Żołdacy rzymscy zaczęli plądrować domy i mordować mieszkańców miasta. Jednym z takich żołdaków był Tertius, dziesiętnik rzymski. Ogarniała go dzika wściekłość, ponieważ prześladowało go niepowodzenie. Towarzysze jego mieli ręce pełne łupów, on natomiast -nic godnego uwagi. Zły wpadł na obszerny podwórzec. Zobaczył tam siedzącego na niskiej ławie Syrakuzanina, który długim patykiem kreślił coś na piasku. To był Archimedes pogrążony duszą i wzrokiem w rozmyślaniach. Nie zauważył ani wtargnięcia Rzymian ani zdobycia miasta. Był znużony. Nie było jego zadaniem kierować obroną miast, nie czuł się powołany do tej pracy i każdą wolną chwilę poświęcał badaniom naukowym. Siedział przed swoim domem i kreślił figury geometryczne na piasku.

• Hej, stary! – zawołał Tertius. – Dawaj złoto! Szybko! Starzec nie odezwał się ani nie podniósł głowy. Dziesiętnik wpadł do domu i zaczął przewracać sprzęty, zaglądał do skrytek, tłukł wazy. Nic jednak nie mógł znaleźć. Wybiegł więc na zewnątrz, chwycił starca za kark i krzycząc zażądał od niego pieniędzy. -Nie przeszkadzaj, bo muszę doprowadzić zadanie do końca – odezwał się starzec. Żołnierz wpadł w gniew, wydobył miecz i wrzasnął: - Nie powiesz ? A więc giń Powiedziawszy to uderzył starca w plecy. - Nie niszcz moich kół, tylko nie niszcz moich kół – jęknął Syrakuzanin i osunął się na ziemię. Tak zginął, wbrew rozkazowi Marcellusa jeden z największych mędrców starożytności, filozof, fizyk, matematyk oraz utalentowany mechanik.”…

PODSUMOWANIE. Dzieła Archimedesa są nadzwyczaj trudne; o przystępność nie dbał, pisał stylem oszczędnym, opuszczał łatwe w swoim mniemaniu ogniwa. Matematyk francuski Franciszek Viete przyznawał, że nie wszystko rozumiał. Tłumaczyli go gorliwie i komentowali Arabowie, później uczeni zaczodnioeuropejscy.

Prace Archimedesa wykraczały tak dalece poza ówczesny standard, że trudno było o ich kontynuatorów. Tym bardziej ,że czasy stały się dla nauki niepomyślne. Po śmierci Archimedesa zaczęła się dominacja Rzymu, który zajmował się urządzaniem świata za pomocą sił zbrojnych. Tak więc kontynuatorów prace Archimedesa znalazły dopiero w XVII wieku. W połowie XVI wieku w Wenecji Niccolo Tartaglia opublikował swoje opracowanie dzieł Archimedesa, a w rok później ukazało się po raz pierwszy drukiem wydanie dzieł tego wielkiego geometry starożytności, dzięki czemu zostały one udostępnione licznym uczonym. Zainteresowanie pracami Archimedesa było ogromne. Wywołały one zachwyt i podziw dla geniusza z Syrakuz. Wielki reformator nauki, Galileusz, nazwał Archimedesa „boskim”. Jego osiągnięcia wydawały się przekraczać wszelkie możliwości ludzkie. Z naszej perspektywy dziejowej najbardziej rzucającą się w oczy cechą jego prac jest przeczucie dalszego, dokonanego niejednokrotnie po dwóch tysiącleciach, rozwoju pojęć matematyki. Prace Archimedesa dotyczące obliczania pól figur ograniczonych krzywymi i objętości brył ograniczonych dowolnymi powierzchniami wsławiły go jako prekursora rachunku całkowego, powstałego 2 tysiące lat później. Badania Archimedesa z zakresu hydrostatyki kontynuował dopiero w XVI w. S.Stevin, a w następnym stuleciu Galileusz i B.Pascal.(traktat Stevina był opublikowany w 1586 r. w j. Holenderskim i z tego względu ani Galileusz, ani Pascal go nie znali.)