
Rozkład wielomianów i działania na wielomianach
ROZKŁAD WIELOMIANÓW NA CZYNNIKI Rozkładając wielomian na czynniki, mamy do dyspozycji kilka metod. Każde z wymienionych poniżej działań zostało opisane wcześniej (linki podane w nawiasach). wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias ( wyłączanie przed nawias), wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia ( zamiana sumy na iloczyn), zamiana na postać iloczynową funkcji kwadratowej ( postaci funkcji kwadratowej), grupowanie wyrażeń ( zamiana sumy na iloczyn). Oczywistym jest fakt, że o wyborze metody, lub metod jakie zastosujemy, decyduje postać danego wielomianu, a nie nasze upodobania.
ROZKŁAD WIELOMIANÓW NA CZYNNIKI Rozkładając wielomian na czynniki, mamy do dyspozycji kilka metod. Każde z wymienionych poniżej działań zostało opisane wcześniej (linki podane w nawiasach).
- wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias ( wyłączanie przed nawias),
- wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia ( zamiana sumy na iloczyn),
- zamiana na postać iloczynową funkcji kwadratowej ( postaci funkcji kwadratowej),
- grupowanie wyrażeń ( zamiana sumy na iloczyn).
Oczywistym jest fakt, że o wyborze metody, lub metod jakie zastosujemy, decyduje postać danego wielomianu, a nie nasze upodobania. Wybór odpowiedniej metody przysparza zazwyczaj najwięcej problemów. Aby sobie to ułatwić, powinniśmy sprawdzać możliwość wykorzystania wymienionych metod, zgodnie z wymienioną kolejnością. Ponadto aby było możliwe wykorzystanie konkretnej metody, musi być spełniony określony warunek.
wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias WARUNEK: „x” musi pojawiać się w każdym wyrażeniu (jednomianie). Przykład:
wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia WARUNEK: wielomian musi mieć formę odpowiadającą któremuś ze wzorów skróconego mnożenia (odpowiednia liczba wyrażeń i odpowiednie znaki).
Przykład:
zamiana na postać iloczynową funkcji kwadratowej WARUNEK: Wielomian musi mieć postać trójmianu kwadratowego (funkcji kwadratowej). Przykład:
grupowanie wyrażeń WARUNEK: Liczba wyrażeń musi być parzysta (minimalnie muszą występować cztery wyrażenia). Przykład:
Wielomian rozkładamy aż do momentu rozkładu na czynniki liniowe: gdy w żadnym nawiasie nie ma zmiennej „x” podniesionej do jakiejkolwiek potęgi. Ponadto, poza nawiasami jedynym działaniem jakie może istnieć, jest mnożenie. UWAGA: Przekształcenie wielomianu do tej formy nie zawsze będzie dla nas wykonalne. W takim przypadku kończymy rozkład wielomianu, gdy „już nic więcej nie da się zrobić”.
Przykład prawidłowo rozłożonego na czynniki wielomianu:
Rozkład wielomianów na czynniki przedstawimy na kilku różnych przykładach. Przykład 1.
Przykład 2.
Przykład 3.
Przykład 4.
ROWNANIA WIELOMINOWE Aby rozwiązać równanie wielomianowe, należy w pierwszej kolejności (jeżeli jest to konieczne) przekształcić je do odpowiedniej postaci. Wszystkie wyrażenia powinny znajdować się po lewej stronie w odpowiedniej kolejności (od największej do najmniejszej potęgi). Przykład:
Gdy równanie wielomianowe jest już zapisane w odpowiedniej formie, należy wykonać dwie czynności:
Rozkładamy równanie na czynniki, tak jak zostało to przedstawione w poprzednim rozdziale. Po dokonaniu rozkładu na czynniki rozpatrywanego przykładu, otrzymamy:
Rozwiązujemy kilka równań, przyrównując każdy z czynników do zera.
Powyższe równanie wielomianowe ma trzy rozwiązania: -5, 0, 2. Przykład:
UWAGA: W przypadku równań wielomianowych nie jest konieczne rozkładanie na czynniki do samego końca. Wystarczy, że otrzymamy czynniki, które po przyrównaniu do zera, dadzą równanie możliwe do rozwiązania. Przykład:
Zalecamy jednak rozkładanie wielomianu do końca w przypadku, gdy w zadaniu pojawia się pytanie o krotność rozwiązania!
KROTNOŚĆ ROZWIĄZANIA
Krotność danego rozwiązania jest równa potędze, do jakiej podniesiony jest czynnik, z którego je otrzymaliśmy.
Przykładowo: Rozkładając na czynniki wielomian w równaniu otrzymaliśmy: