Klasa 1- powtórki
1.Liczby naturalne N={0,1,2,3…} Cechy: • Element najmniejszy 0 • Nie istnieje element największy, zbiór liczb naturalnych jest nieograniczony z góry • Zbiór N jest nieskończony • Mówimy, że działanie jest wewnętrzne w zbiorze jeżeli dla dowolnych liczb należących do tego zbioru wynik działania też należy do zbioru Działania wewnętrzne w zbiorze liczb naturalnych to dodawanie i mnożenie Liczba pierwsza Liczbą pierwszą nazywamy liczbę naturalną , która ma dokładnie dwa różne dzielniki (1 i samą siebie) Liczba złożona Liczbą złożoną nazywamy liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki
1.Liczby naturalne N={0,1,2,3…} Cechy: • Element najmniejszy 0 • Nie istnieje element największy, zbiór liczb naturalnych jest nieograniczony z góry • Zbiór N jest nieskończony • Mówimy, że działanie jest wewnętrzne w zbiorze jeżeli dla dowolnych liczb należących do tego zbioru wynik działania też należy do zbioru Działania wewnętrzne w zbiorze liczb naturalnych to dodawanie i mnożenie Liczba pierwsza Liczbą pierwszą nazywamy liczbę naturalną , która ma dokładnie dwa różne dzielniki (1 i samą siebie) Liczba złożona Liczbą złożoną nazywamy liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki
UWAGA!! 0 i 1 nie są liczbami złożonymi i pierwszymi Dzielnik Niech liczby a, b, c będą liczbami naturalnymi większymi od zera. Liczbę b nazywamy dzielnikiem liczby a jeżeli istnieje taka liczba naturalna c, że a=bc.
Zauważ, że: • Liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej, • Liczba 0 nie jest dzielnikiem żadnej liczby, • Każda dodatnia liczba naturalna jest dzielnikiem liczby 0 Cechy podzielności • Liczba naturalna jest podzielna przez 2 (5, 10), gdy cyfra jedności podzielna jest przez 2 (5, 10) • Liczba naturalna jest podzielna przez 4 (25, 50, 100), gdy liczba utworzona z cyfr dziesiątek i jedności jest podzielna przez 4 (25, 50, 100) • Liczba naturalna jest podzielna przez 3 (9), gdy suma jej cyfr podzielna jest przez 3 (9) Jeśli 2|n to liczbę n nazywamy parzystą, a jeśli nie dzieli to nieparzystą. Rozkład liczby na czynniki Rozkład liczby naturalnej na czynniki jest przedstawieniem tej liczby w postaci iloczynu liczb naturalnych większych od 1. Na przykład liczbę 52 można rozłożyć na czynniki następująco: 52=226, 52=413, 52=2213 Ostatni z tych przykładów jest rozkładem na czynniki pierwsze. TWIERDZENIE Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki będące liczbami pierwszymi. Istnieje jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności czynników).
Rozkład liczby 150: 150 | 3 50 | 2 25 | 5 5 | 5 1 |
Praktycznym zastosowaniem rozkładu na czynniki pierwsze jest wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności – NWW oraz największego wspólnego dzielnika - NWD
120 | 2 54 | 2 60 | 2 27 | 3 30 | 2 9 | 3 15 | 3 3 | 3 5 | 5 1 | 1 |
NWW(120, 54)= 2223335= 1080 NWD(120, 54)= 2*3= 6
Liczby całkowite Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne. C={…,-2,-1,0,1,2…} • Zbiór liczb całkowitych jest nieskończony i nieograniczony (z dołu i góry). • Nie istnieją w zbiorze elementy: najmniejszy i największy. • Działaniami wewnętrznymi w zbiorze C są; dodawanie, odejmowanie i mnożenie
Liczby wymierne Liczbą wymierną nazywamy liczbę, którą można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego tzn. ilorazu dwóch liczb całkowitych. • Zbiór liczb wymiernych jest nieskończony i nieograniczony (z dołu i góry) • Nie istnieją w zbiorze elementy: najmniejszy i największy
Ułamki zwykłe przedstawiamy w możliwie najprostszej postaci, a więc w postaci nieskracalnej, Np. ( ) Działania na liczbach wymiernych
- Liczby niewymierne Liczbą niewymierną nazywamy liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna, czyli nie można jej przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Przykłady:
jeżeli n nie jest kwadratem liczby naturalnej
Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywamy zbiorem liczb rzeczywistych i oznaczamy literą R.
- Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Sposób przedstawienia liczb rzeczywistych w postaci ułamka dziesiętnego. Ułamki o mianownikach: 10, 100, 1000.. nazywamy ułamkami dziesiętnymi. Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci dziesiętne skończonej lub okresowej. Każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną. Rozwinięcie dziesiętne skończone:
Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe:
W rozwinięciu dziesiętnym nawias oznacza powtarzanie się nieskończenie wiele razy zapisanej w nim grypy cyfr. Taką powtarzającą się grupę cyfr nazywamy okresem. Liczbę cyfr występujących w okresie nazywamy długością okresu.
Przekształcanie ułamków dziesiętnych tych z okresem na zwykłe to Ci wytłumaczę :D
- Pierwiastek z liczby nieujemnej Pierwiastkiem stopnia n z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną b, że zachodzi warunek
Działania na pierwiastkach: • Pierwiastek iloczynu
• Pierwiastek ilorazu
Do zapamiętania kwadraty liczb do 20 i sześciany do 6 !! Mile widziane więcej :D
- Pierwiastek nieparzystego stopnia Tak samo jak w punkcie 6 tylko pierwiastki nieparzystego stopnia obejmują też liczby ujemne. Na przykład:
I tak dalej :D
- Potęga o wykładniku całkowitym Dla liczby naturalnej n > 1 potęgą nazywamy iloczyn n czynników równych liczbie a: , gdzie a – podstawa potęgi n – wykładnik potęgi
Dla liczby naturalnej n i dla liczby przyjmujemy, że:
Przyjmujemy również, że oraz
Własności potęgowania:
1.
2.
3.
4.
5.
- Notacja wykładnicza Liczbę dodatnią a możemy przedstawić w postaci iloczynu:
Gdzie x jest liczbą spełniającą warunki , a n – liczbą całkowitą. Takie przedstawienie liczby nazywamy notacją wykładniczą.
- Reguła zaokrąglania Przybliżając liczbę w postaci dziesiętnej, zwykle stosujemy regułę zaokrąglania, która polega na odrzuceniu końcowych cyfr tej liczby: • Gdy pierwszą z odrzuconych cyfr jest: 0, 1, 2, 3, 4, to ostatnią z zachowanych cyfr pozostawiamy bez zmian; • Gdy pierwszą z odrzuconych cyfr jest: 5, 6, 7, 8, 9, to ostatnią z zachowanych cyfr zwiększamy o jeden. Gdy przybliżenie liczby jest od niej mniejsze, to mówimy o przybliżeniu z niedomiarem. Natomiast gdy przybliżenie liczby jest od niej większe, to mówimy o przybliżeniu z nadmiarem.
Przykład: przybliżenie z niedomiarem przybliżenie z nadmiarem
Błąd przybliżenia jest równy różnicy liczby i jej przybliżenia.
Procenty Procenty odnoszą się do jakieś całości ( wielkości ustalonej ). Promil to 0,001 tej wielkości, czyli 0,1%.
Zbiory Zbiór jest pojęciem pierwotnym. Pojęcie pierwotne to takie, które przyjmujemy bez definicji. Zbiory oznaczamy dużymi literami. Aby opisać zbiór, należy określić jakie są jego elementy. Przykład zbioru
- zbiór liczb naturalnych Zbiór, który ma skończoną liczbę elementów, nazywamy zbiorem skończonym. Zbiór, do którego należy nieskończenie wiele elementów, nazywamy zbiorem nieskończonym.
- relacja „należność do zbioru” zbiór pusty - ( nie umiem zrobić przekreślonego O ) ;(
Relacje między zbiorami:
Równość zbiorów
Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.2.Zawieranie zbiorów
Mówimy, że zbiór A zawarty jest w zbiorze B, gdy element zbiory A należy do zbioru B. Wniosek:
Zbiory są równe, gdy zbiór A zawarty jest w zbiorze B i zbiór B zawarty jest w zbiorze A.
Działania na zbiorach
Suma zbiorów Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów: A lub B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy: .
Iloczyn zbiorów (część wspólna) Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą jednocześnie do obu tych zbiorów. Iloczyn zbiorów A i B oznaczamy: .
Różnica zbiorów Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B. Różnicę zbiorów A i B oznaczamy: .
Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, gdy nie mają wspólnych elementów, czyli zbiór pusty
- Przedziały liczbowe
- Przedziały ograniczone: • Przedział otwarty (a, b) ; a < b
• Przedział domknięty <a, b> ; a < b [a, b]
• Przedział lewostronnie domknięty <a, b) ; a < b
• Przedział prawostronnie domknięty (a, b> ; a < b
- Przedziały nieograniczone • Przedział nieograniczony lewostronnie otwarty
• Przedział nieograniczony lewostronnie domknięty
• Przedział nieograniczony prawostronnie otwarty
• Przedział nieograniczony prawostronnie domknięty
Działania na przedziałach są takie same jak na zbiorach ( )
- Wartość bezwzględna Wartością bezwzględną (modułem) z liczby nieujemnej jest ta sama liczba, a z liczby ujemnej liczba do niej przeciwna.
Przykłady: |4,75| = 4,75 |-13| = 13
Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej: Wartość bezwzględna liczby jest równa odległości tej liczby na osi liczbowej od zera.
Własności wartości bezwzględnej:
1.
2.
3.
4.
5.
Przykłady:
a) |x| = 2 x=2 lub x=-2
b) |x|=-3 do zbioru pustego2
Przykład:
a) |x| < 3 x < 3 i x > -3
b) |x| < -2 do zbioru pustego
Przykład:
a) |x| > 4 x > 4 lub x < -4
b) |x| > -5
8.Odległość na osi liczbowej miedzy danymi liczbami jest równa.
Dla dowolnego
Dla dowolnego
Błąd bezwzględny i błąd względny Niech a będzie przybliżeniem liczby x. Błąd bezwzględny przybliżenia jest to wartość bezwzględna różnicy między liczbą x i jej przybliżeniem a, czyli liczba |x - a|. Stosunek błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej liczby x nazywamy błędem względnym:
Wzory skróconego mnożenia Kwadrat sumy:
Kwadrat różnicy:
Różnica kwadratów:
Sześcian sumy:
Sześcian różnicy:
Suma sześcianów:
Różnica sześcianów:
Sposoby opisywania funkcji Definicja: Dane są zbiory X i Y. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y, nazywamy przyporządkowanie, takie że każdemu elementowi zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element w zbiorze Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji; Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji, a jego elementy wartościami funkcji.
Dziedzina i miejsce zerowe Dziedziną funkcji określonej wzorem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy. Na przykład:
Do zapamiętania:
Miejscem zerowym funkcji y = f(x) nazywamy taką wartość argumentu x, dla której f(x)=0.
Monotoniczność funkcji
Funkcja rosnąca: Mówimy, że funkcja jest rosnąca, jeżeli ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji. Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A
Funkcja malejąca: Mówimy, że funkcja jest malejąca, jeżeli ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji. Funkcja f jest malejąca w zbiorze A
Funkcja stała: Mówimy, że funkcja jest stała jeżeli dla każdego argumentu przypisana jest ta sama wartość.
Funkcja niemalejąca Funkcja jest niemalejąca w zbiorze A
Funkcja nierosnąca Funkcja jest nierosnąca w zbiorze A
Przekształcanie wykresów funkcji
Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY Wykres funkcji y = f(x)+q dla q > 0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) o q jednostek w górę wzdłuż osi OY. Wykres funkcji y = f(x)-q dla q > 0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) o q jednostek w dół wzdłuż osi OY.
Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OX Wykres funkcji y = f(x - p) dla p > 0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) o p jednostek w prawo wzdłuż osi OX. Wykres funkcji y = f(x + p) dla p > 0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) o p jednostek w lewo wzdłuż osi OX.
Wektory w układzie współrzędnych Wektor to odcinek z wyróżnionymi początkiem i końcem, często rysowany jak strzałka. Wektor o początku A i końcu B oznaczamy
Dowolny wektor na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy zapisać jako parę liczb [a, b]. W przesunięciu o wektor [a, b]: • Współrzędna a określa, o ile jednostek nastąpiło przesunięcie w poziomie (wzdłuż osi OX), w prawo, jeśli a > 0, i w lewo, jeśli a < 0. • Współrzędna b określa, o ile jednostek nastąpiło przesunięcie w pionie (wzdłuż osi OY), w górę, jeśli b > 0, i w dół, jeśli b < 0. Dane są punkty . Współrzędnie wektora określa wzór:Przesuwanie wykresu o wektor Wykres funkcji y = f(x – p) + q otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) o wektor [p, q].
Przekształcanie wykresu przez symetrię względem osi układu współrzędnych • Wykres funkcji y = -f(x) otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji y = f(x) względem osi OX. • Wykres funkcji y = f(-x) otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji y = f(x) względem osi OY.
Inne przekształcenia wykresu • Wykres funkcji y = |f(x)| otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OX tej części wykresu funkcji f, która znajduje się pod osią OX, pozostałą część wykresu pozostawiamy bez zmian. • Wykres funkcji y = f(|x|) otrzymujemy z wykresu funkcji f, korzystając z tego, że:
- dla x > lub = ( należących do dziedziny) zachodzi równość f(|x|) = f(x),
- wykres funkcji y = f(|x|) jest symetryczny względem osi OY.
- Funkcje parzyste i nieparzyste Mówimy, że funkcja f jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do D również liczba –x należy do dziedziny funkcji f oraz zachodzi równość: f(-x) = f(x)
Mówimy, że funkcja f jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do D również liczba –x należy do dziedziny funkcji f oraz zachodzi równość: f(-x)= -f(x)
- Funkcja różnowartościowa Mówimy, że funkcja jest różnowartościowa jeżeli dowolnych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Funkcja f jest różnowartościowa (iniekcją)
- Funkcja liniowa
Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem:
Wykresem funkcji liniowej jest prosta.
Własności: Twierdzenie: Funkcja f(x) = ax + b jest funkcją monotoniczną. • Jeżeli współczynnik a > 0, to funkcja jest rosnąca • Jeżeli a < 0, to malejąca • Jeżeli a = 0, to funkcja jest stała
Twierdzenie: • Jeżeli , to funkcja liniowa f(x) = ax + b ma jedno miejsce zerowe • Jeżeli a = 0 i b = 0 to miejscami zerowymi funkcji liniowej f(x) = ax + b są wszystkie liczby rzeczywiste • Jeżeli a = 0, to f(x) = ax + b nie ma miejsc zerowych
Twierdzenie: • Jeżeli a = 0 to funkcja liniowa jest funkcją parzystą • Jeżeli b = 0 to funkcja liniowa jest nieparzysta • Jeżeli to funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta
Twierdzenie: • Jeżeli to funkcja liniowa jest różnowartościowa • Jeżeli a = 0 to funkcja liniowa nie jest różnowartościowa
Punkt przecięcia funkcji liniowej f(x) = ax + b z osią OY ma współrzędne (0, b)
- Równanie kierunkowe prostej Równanie w postaci y = ax + b nazywamy równaniem kierunkowym prostej. Równanie kierunkowe prostej opisuje proste, które są wykresami funkcji liniowych. Równaniem kierunkowym nie można opisać prostych równoległych do osi Y .
a – współczynnik kierunkowy prostej Jeżeli prosta przechodzi przez dwa punkty to:
Równoległość prostych:
Jeżeli proste dane są
l :
k : , to prosta l jest równoległa do prostej k wtedy i tylko wtedy jeśli
Prostopadłość prostych:
Jeżeli proste dane są równaniami
l :
k :
to
30. Równanie pęku prostych. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
Pęk prostych przechodzących przez punkt P
równanie pęku prostych przechodzących przez punkt
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:
- Równanie ogólne prostej
• Równanie ogólne prostej opisuje dowolną prostą w układzie współrzędnych • Jeżeli B = 0 to prosta jest równoległa do osi Y • Jeżeli A = 0 to prosta jest równoległa do osi X
Równoległość i prostopadłość prostych o równaniach ogólnych:
Równoległość:
l :
k :
Prostopadłość:
l :
k :
- Odległość między punktami, punktem i prostą oraz prostymi równoległymi Odległość miedzy punktami AB:
gdzie
Odległość punktu do prostej l:
Odległość między prostymi l i k:
l :
k : A i B muszą być identyczne
Środek odcinka AB:
- Równanie liniowe Równanie liniowe z niewiadomą x nazywamy równaniem, które można przekształcić do postaci ax + b = 0 , gdzie a i b należą do R
• Rozwiązanie równania liniowego ax + b = 0 ma jedno rozwiązanie, gdy (oznaczone) • Ma nieskończenie wiele rozwiązań , gdy a = 0 i b = 0 (nieoznaczone) • Nie ma rozwiązania, gdy (sprzeczne)
- Układy równań • Układ równań liniowych, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym. • Układ równań liniowych, który nie ma rozwiązań, nazywamy układem sprzecznym. • Układ równań liniowych, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy układem nieoznaczonym.
Metody rozwiązywania : Podstawiania z pierwszego równania wyznaczamy x lub y i podstawiamy do drugiego równania
Przeciwnych współczynników
mnożymy obie strony równania, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej x
dodajemy równania stronami
Zatem y = -3. Podstawiamy otrzymaną wartość do równania x-4y = 4 i otrzymujemy rozwiązanie układu.
Metoda wyznacznikowa Układ równań liniowych
Liczbę W nazywamy wyznacznikiem głównym
Liczbę nazywamy wyznacznikiem x
Liczbę nazywamy wyznacznikiem y
- Jeśli , to układ równań ma jedno rozwiązanie wyznaczone za pomocą wzorów Cramera (oznaczony )
- Jeśli to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (nieoznaczony )
- Jeśli to układ równań nie ma rozwiązań (sprzeczny)
Interpretacja geometryczna • Układ równań liniowych jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy proste opisane równaniami tego układu się przecinają. • Układ równań liniowych jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy, gdy proste opisane równaniami tego układu to dwie proste równoległe. • Układ równań liniowych jest układem nieoznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy proste opisane równaniami tego układu się pokrywają.