Transformacja
TRANSFORMACJA LORENTZA 1887 r . doświadczenie Michelsona – Morley’a (M-M) sprawdzanie natury eteru świetlnego i wyznaczenie prędkości światła względem niego. Wynik doświadczenia: Prędkość światła c jest niezmiennicza; tzn. prędkość światła jest taka sama, niezależnie od tego czy jest ona mierzona przez obserwatora znajdującego się w układzie stacjonarnym , czy też przez obserwatora znajdującego się w układzie poruszającym się ze stałą prędkością względem źródła światła. Wnioski te były podstawą teorii względności Einsteina.
TRANSFORMACJA LORENTZA
1887 r . doświadczenie Michelsona – Morley’a (M-M) sprawdzanie natury eteru świetlnego i wyznaczenie prędkości światła względem niego. Wynik doświadczenia: Prędkość światła c jest niezmiennicza; tzn. prędkość światła jest taka sama, niezależnie od tego czy jest ona mierzona przez obserwatora znajdującego się w układzie stacjonarnym , czy też przez obserwatora znajdującego się w układzie poruszającym się ze stałą prędkością względem źródła światła.
Wnioski te były podstawą teorii względności Einsteina.
Założenia prowadzące do Transformacji Lorentza (TL):
(patrz rys 1.1 Mechanika Klasyczna)
Układ S1 jest w spoczynku,
Układ S2 porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym wzdłuż osi x-ów z prędkością ,
W chwili początkowej ze wspólnego początku obu układów
wysłany zostaje błysk światła. Światło jest falę kulistą, której czoło fali jest sferą o promieniu zwiększającym się z prędkością światła
w układzie :
(2.1a)
w układzie :
(2.1b)
Równanie czoła fali ma postać:
W układzie :
(2.2a)
w układzie :
(2.2b)
Korzystamy z TG , wyrażenia na współrzędne z równania (1.6a-c) wstawiamy do równania (2.2b), otrzymujemy wówczas:
(2.3)
Jak widać równanie (2.3) nie jest identyczne z równaniem (2.2a) czoła fali w układzie.
Wniosek
TG przestaje być słuszna, jeżeli prawdziwa jest zasada niezmienniczości prędkości światła
Szukamy transformacji, która spełnia następujące warunki:
Przechodzi w TG gdy
Zmienia wyrażenie (2.2b) w wyrażenie (2.2a)
Transformacja ta musi spełniać następujące założenia:
- być prosta dla i , bo oraz przechodzi odpowiednio w oraz
- być liniowa względem i , ponieważ musimy otrzymać sferyczne czoło fali rozszerzające się ze stałą prędkością
- czas musi również podlegać transformacji, o ile wyrazy mają zniknąć w równaniu (2.3), czyli
Zastosujmy transformację:
(2.4a-d)
Transformację (2.4a-d) wstawiamy do wzoru (2.2b) i otrzymujemy:
(2.5)
Żądamy spełnienia warunku:
(bo transformacja powinna być liniowa względem oraz ), stad dostajemy wyrażenie na nieznaną wielkość :
, wówczas transformacja czasu ma postać:
(2.6)
Wstawiamy (2.6) do (2.5) i otrzymujemy:
(2.7)
Równanie (2.2b) przejdzie w równanie czoła fali (2.2a) gdy przyjęta zastanie następująca transformacja:
(2.8a-d)
Równania (2.8a-d) stanowią Transformację Lorentza (TL). TL zachowuje niezmienniczość prędkości światła.
Dla TL przechodzi w TG.
Standardowa forma zapisu TL:
Stosujemy podstawienia:
Wówczas TL jest zapisana w następującej postaci:
(2.9a-d)
Transformacja odwrotna ma postać:
(2.10a-d)
Zasada Korespondencji (odpowiedniości) Bohra sformułowana w 1932r.
Każda nowa teoria w fizyce musi sprowadzić się do dobrze ugruntowanej odpowiedniej teorii klasycznej, jeśli stosuje się ją w specjalnej sytuacji, gdy wiadomo, że mniej ogólna teoria jest słuszna. Innymi słowy TL TG dla
Konsekwencje TL:
- Kontrakcja przestrzeni: np. skrócenie długości
Przykład: oznaczmy przez długość pręta mierzoną wzdłuż osi x-ów gdy pręt jest w spoczynku w układzie
przez długość pręta mierzoną w układzie , który porusza się względem ruchem jednostajnym prostoliniowym wzdłuż osi x-ów z prędkością
W układzie długość pręta wynosi:
(2.11)
natomiast w układzie :
(2.12)
Górne wskaźniki odnoszą się do układów współrzędnych
Uwaga: pomiary wykonujemy w tym samym czasie,
We wzorze (2.11) wykorzystujemy TL przedstawioną równaniem (2.10a-d) i wówczas otrzymujemy:
(2.13)
Podstawiając równanie (2.12) do (2.13) otrzymujemy:
(2.14a)
Lub w równoważnym zapisie:
(2.14b)
Z równań (2.14a-b) wynika ,że . Jest to tzw. skrócenie Lorentza- Fitzgeralda pręta poruszającego się równolegle do swojej długości.
- Dylatacja czasu jest zjawiskiem polegającym na wydłużeniu odstępów czasu mierzonych przez zegar będący w ruchu
Przykład: Zegar znajduje się w układzie w spoczynku w początku układu współrzędnych ( ). Układ jest układem własnym dla zegara, a wynik pomiaru odstępu czasu nazywa się czasem własnym. Układ porusza względem wzdłuż osi x-ów z prędkością . Zgodnie ze wzorem (2.9d) mamy:
(2.15a)
Lub w równoważnym zapisie:
(2.15b)
Ze wzorów (2.15a,b) wynika, że . Poruszające się zegary mierzą wydłużone przedziały czasowe w porównaniu z zegarami będącymi w spoczynku.
Lorentzowskie dodawanie prędkości -transformacja prędkości Lorentza
Przypomnienie:
Def. Prędkości:
(2.16)
składowe prędkości
(2.17a-c)
Korzystamy z TL wzór (2.8a-d) , następnie wyliczamy różniczki kolejnych współrzędnych a potem ich pochodne po czasie.
(2.18a-d)
Szukamy: ; ;
Dzieląc obustronnie równania (2.18a-c) przez (2.18d) otrzymujemy transformację prędkości Lorentza w następującej postaci:
(2.19a-c)
Ze związków (2.19a-c) wynika, że mimo iż ruch układu względem odbywa się wzdłuż osi x-ów to składowe prędkości oraz zależą również od . Dla transformacja prędkości Lorentza (2.19a-c). przechodzi w transformację prędkości Galileusza.
(2.20a-c)
Z równań (2.19a-c) można wyprowadzić odwrotną TL prędkości:
(2.21a-c)
Przykład (R1):
Ciało porusza się w układzie wzdłuż osi z prędkością ,
Układ porusza się względem wzdłuż osi z prędkością
Wyliczamy prędkość ciała w układzie
Zgodnie z TG prędkość ta wynosi:
(R1.1a-c)
Zgodnie z TL prędkość ta wynosi:
(R1.2a-c)
Rozważamy przypadek dużych prędkości , wówczas zgodnie z równaniem (R1.1a-c) z TG otrzymujemy:
(R1.3a-c)
Wynik wskazuje, że TG nie spełnia zasady niezmienniczości prędkości światła
Natomiast zgodnie z równaniem (R1.2a-c) z TL otrzymujemy:
(R1.4a-c)
Wynik wskazuje, że TL spełnia zasadę niezmienniczości prędkości światła.