Lukualueen vaiheittaisen laajentamisen luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin (N → Z → Q → R) voidaan katsoa syntyvän tarpeesta löytää ratkaisu yhä uusille yhtälötyypeille: x+2 = 0 ei ratkea luonnollisten lukujen joukossa, mutta kylläkin kokonaislukujen joukossa; 2x + 3 = 0 ei ratkea kokonaislukujen, mutta kyllä rationaalilukujen joukossa; yhtälöllä x2 = 2 ei ole rationaalista ratkaisua, mutta reaalilukujoukkoon kuuluva ratkaisu löytyy. Samaa ajattelua voidaan yrittää jatkaa: Yhtälö x2 + 1 = 0 ei ratkea reaalilukujou- kossa, mutta voitaisiinko lukujoukkoa laajentaa siten, että sille kuitenkin löytyisi ratkaisu? Suoraviivainen mahdollisuus on päättää ottaa käyttöön ’luku’ i, jolla on ominaisuus i2 = −1, ja sopia lisäksi, että sillä lasketaan reaalilukujen laskusääntöjä noudattaen. Tällöin on (−i)2 = i2 = −1, ja yhtälölle x2 +1 = 0 on saatu kaksi ratkaisua, i ja −i. Jotenkin luontevaa on tällöin myös kirjoittaa i = √ −1. Avoimeksi kuitenkin tällöin jää, mikä i oikeastaan on ja voidaanko ristiriitoihin joutumatta sopia, että sillä lasketaan reaalilukujen tapaan. Itse asiassa ongelmia syntyy, kuten seuraava lasku osoittaa: −1 = i2 = (+ √ −1)(+ √ −1) = + q (−1)(−1) = + √ +1 = +1. Tarpeeseen pohtia negatiivisten lukujen neliöjuuria on johduttu muillakin tavoilla. Toisen asteen yhtälö osattiin ratkaista viimeistään 1400-luvulla ja tiedettiin, että ratkaisuja ei ole, jos ratkaisussa johdutaan negatiivisten lukujen neliöjuuriin. Kol- mannen asteen yhtälön ratkaiseminen nousi kiinnostuksen kohteeksi 1500-luvulla. Seuraava esimerkki on Geronimo Cardanolta, tosin meidän aikamme merkintätapo- ja käyttäen. Tarkasteltavana on yhtälö x3 = 15x + 4. Yhtälön ratkaisemiseksi sijoitetaan x = u + v, missä apumuuttujat u ja v valitaan siten, että uv = 5. Tällöin yhtälö saa muodon u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 = 15u + 15v + 4 eli u3 + v3 = 4, koska 3u2v+3uv2 = 3uv(u+v) = 15u+15v. Sijoittamalla v = 5/u, saadaan edelleen u3 + 125 u3 = 4 eli u6 − 4u3 + 125 = 0. Kun tuntemattomaksi otetaan z = u3, tämä on toisen asteen yhtälö z2−4z+125 = 0, jonka ratkaisu on z = 2 ± √ −121. Tällöin u3 = 2 ± √ −121 ja v3 = 125 u3

125 2 ± √ −121 = 2 ∓ √ −121, jolloin alkuperäisen yhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa x = u + v = 3 q 2 + √ −121 + 3 q 2 − √ −121. 1 Tulos sisältää neliöjuuria negatiivisista luvuista, ja tämän voisi ajatella tarkoitta- van, että yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Tällä kuitenkin on kolme ratkaisua, 4, −2+ √ 3 ja −2 − √ 3, kuten sijoittamalla voidaan todeta. Olisiko siis √ −121 jotenkin ym- märrettävissä siten, että saatu lauseke sievenisi ja antaisi jonkin edellä mainituista kolmesta ratkaisusta? Luvun i ja yleisemmin muotoa x + iy olevien kompleksilukujen selkeä määrittely on 1800-luvun alkupuolelta. Sitä pidetään usein Carl Friedrich Gaussin työnä, mutta idean oli jo hieman aiemmin esittänyt norjalainen Caspar Wessel. Sittemmin kompleksiluvut ovat osoittautuneet merkityksellisiksi monissa muissakin yhteyksissä kuin polynomiyhtälöiden ratkaisemisessa ja polynomien ominaisuuksien analysoinnissa. Niitä tarvitaan sekä monilla matematiikan alueilla että sovellettaessa matematiikkaa muissa tieteissä, esimerkiksi fysiikassa ja sähkötekniikassa.